Question

Równania wielomianowe z parametrem
1 wyznacz parametr m,k aby wielonian W(x)=4x^3+kx^2+mx-11 był podzielny przez wielomian G(x)= x^2-x-2. wyznacz pierwiastek tego wielomianu

2 wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie (m-1)x^4-(2m-3)x^2+m+1=0 ma dokładnie 4 różne rozwiązania .

3 dla liczb x1,x2 takich że x1 nie równa się x2 wyrażenie f(x)=4m^2x^2-(2m+4)x+1 przyjmuje wartość 0. podaj wzór i dziedzinę funkcji g(m)=1/x1+1/x2. wykaż że ta funkcja wykazuje tylko wartości dodatnie.

4 dane są wielomiany W(x)=x^4-5x^2+6 i G(x)=(x^2-a)(x^2-b)
wyznacz parametry a i b tak aby wielomiany były równe
wyznacz parametry a i b tak aby wielomian G(x) przyjmował wartości ujemne tylko w przedziale (-3,-1) (1,3)

Fajnie by było jakby to ktoś wytłumaczył :)

Answer 1

2W zad 1) oblicz pierwiastki trójmianu kwadratowego

X^2-x-2=0

x1=2

x2=-1

Wielomian W(x) jest podzielny przez trójmian, ma więc pierwiastki -1 i 2.Wstaw w tym wielomianie za x =2,póżniej za  x=-1 ,przyrównaj wielomian do zera i otrzymasz dwa równania z niewiadomymi k i m. Rozwiąż układ tych równań  i otrzymasz k=12,5 i m=-13,5
w podanym wielomianie wstaw za k i m otrzymane liczby
4x^3+1,5x^-13,5x-11
i podziel go przez trójmian kwadratowy x^-x-2
otrzymasz po podzieleniu wynik 4x+5,5
Szukając ostatniego pierwiastka , rozwiąż równanie
4x+5,5=0
odp. Trzeci  pierwiastek wielomianu x=-11,8

zad.2)
Warunki ,jakie muszą być spełnione ,to
m-1 różne od 0
i
delta>0

podstawmy za x^2=z
otrzymamy równanie kwadratowe z niewiadomą z, które musi mieć dwa rozwiązania dodatnie.
(m-1)z^2-(2m-3)z+ m+1=0
Ze wzorów Viete"a
z1*z2>0 
z1+z2>0

Uwzględniając wszystkie warunki mamy
m-1>0
delta=(2m-3)^2-4*(m-1)*(m+1)>0
z1*z2>0 czyli (m+1) / (m-1) >0
z1+z2>0 czyli (2m-3) / (m-1) >0
Rozwiąż  te cztery nierówności i znajdż wspólny przedział.

zad.3)
W zadaniu równanie ma dwa różne pierwiastki, więc
a=4m^2 musi być różne od zera ,stąd m różne od zera
i
delta >0 ,czyli delta =4(2m+4)^2-4*4m^2 >0---rozwiąż .Otrzymasz m>-1
więc m należy do przedziału (-1,0) suma (0,nieskończ.)

g(x)=1/(x1) + (1 / x2) = (x1+x2) / (x1*x2)=
ze wzorów Viete"a
2(2m+4)/(4m^2)] / 1/4m^2=2(2m+4) >0
czyli m>-2.
Uwzględniając wcześniejsze założenia  funkcja g(x) ma tylko wartości dodatnie.

zad 4)
W(x)=x64-5x^2+6
i
g(x)=(x^2-a)(x^2-b) =(po wymnożeniu)=x^4+x^2(-b-a)+ab
Wielomiany są równe ,gdy mają takie same współczynniki przy odpowiednich potęgach
więc -b-a=-5
i        ab=6
Rozwiąż ten układ równań i oblicz a i b .
Ja mam a=2 i b=3 lub a=3 ,b=2