Rozwiąż równanie"2^(3x+2)=2^(x-1)4^(x+7)=8^(2x-5)Rozwiąż nierówność:(x^2+x+2)/(x^2-x-2)>0(x^2- 5x+4).... Question from @Dudunia15

Dudunia15 @Dudunia15

September 2018 1 24 Report

Rozwiąż równanie"

2^(3x+2)=2^(x-1)

4^(x+7)=8^(2x-5)

Rozwiąż nierówność:

(x^2+x+2)/(x^2-x-2)>0

(x^2- 5x+4)/(x^2-4)>0

Rozwiaż równanie:

sinx+cos^2 x +1=0

cosx-cos2x=1

rezzy

PIerwsze dwa równania bazują na fakcie, że potęgi o wspólnych podstawach są równe TYLKO wtedy gdy ich wykładniki są takie same. Oznacza to, że jeśli mamy dwie potęgi o tych samych wykładnikach $a^x = a^y$ , to liczby te są równe tylko wtedy gdy x=y.

Pierwsze równanie jest najprostsze i możemy zauważyć, że:

$2^{3x+2} = 2^{x-1}$ jest równoważne temu:

$3x+2 = x-1$ .

Teraz tylko upraszczamy i wyliczamy x: $x = \frac{-3}{2}$

Drugie równanie jest podobne, ale widzimy,że podstawy nie są takie same. Jednak można zauważyć, że obie są potęgami dwójki, czyli możemy sobie zapisać np coś takiego (ogólnie):

$8^a = (2^3)^a = 2^{3a}$

Tak samo postępujemy z drugim przykładem i przekształcając go osiąga on postać:

$2^{2(x+7)} = 2^{3(2x-5)}$

i znowu możemy zastosować poprzednią metodę uzyskując:

$2(x+7) = 3(2x-5)$ . Podobnie jak w pierwszym przykładzie wyznaczamy x (co już pominę bo jest to całkowicie analogiczne)

Nierówności niestety wymagają wykresu dlatego pozwolę sobie tylko dać wskazówkę. Masz funkcję wymierną, gdzie jest licznik i mianownik w postaci wielomianów dwugiego stopnia. Iloraz dwóch liczb jest większy od 0 wtedy kiedy obie te liczby są dodatnie albo obie ujemne i tylko wtedy. Innymi słowy musisz sprawdzić w jakich przedziałach licznik jest dodatni, a w jakich ujemny i to samo zrobić z mianownikiem, a rozwiązaniem są sumy wszystkich przedziałów gdzie licznik i mianownik jednocześnie mają dodatni znak albo ujemny.

Zostają równania

$\sin(x) + \cos^2(x) + 1 = 0$ . Korzystając z jedynki trygonometrycznej $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ możemy wyłuskać kwadrat kosinusa i podstawić go do pierwszego równania

$\sin(x) + 1 - \sin^2(x) + 1 = 0$ , czyli:

$-\sin^2(x) + \sin(x) + 2 = 0$ (pomnóżmy obie strony przez -1 aby pozbyć się brzydkiego minusa na początku:

$\sin^2(x) - \sin(x) - 2 = 0$

Na końcu stosujemy podstawienie $t = \sin(x)$ i rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$t^2 - t - 2 = 0$ , którego rozwiązaniami są 2 i -1. Są zatem dwa rozwiązania, teraz cofamy się krok wstecz i przypominamy, że robiliśmy podstawienie i staramy się teraz je rozwikłać:

$\sin(x) = 2$ oraz $\sin(x) = -1$ . Od razu widać, że pierwsze równanie nie ma rozwiązań, bo sinus nigdy nie przekracza 1, więc nie istnieje takie x, które sprawiłoby, aby sinus wyniósł 2.

Drugie równanie z kolei prowadzi do rozwiązania okresowego. Zobaczmy, że w sinusie -1 pojawia się począwszy od $\frac{3\pi}{2}$ i potem co każdy okres, czyli rozwiązaniem jest: $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ gdzie k to dowolna liczba całkowita.