Question

wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)= 2|x|−1/(|x|+1)

proszę o wytłumaczenie!

Answer 1

Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej funkcję można "rozpisać" na 2 funkcje: 

W obu przypadkach 2 składnik funkcji jest hiperbolą, przy czym asymptota pozioma jest wspólna i wynosi y=0, a pionowa dla pierwszej wynosi x=-1, a dla drugiej x=1. Dla x=0 funkcja wynosi y=-1 i w tym punkcie funkcje drugiego składnika (których wykresami są hiperbole) osiągają minimum, ze względu na przedziały x≥0 lub x<0. Pierwszy składnik funkcji 2x lub -2x w punkcie x=0 ma wartość 0, a więc cała funkcja, która jest sumą funkcji liniowej oraz hiperbolicznej (typu 1/x) w punkcie x=0 osiąga minimum wynoszące -1. Funkcja y=2x dla wartości dodatnich x jest ciągła i osiąga wartości [0, +∞), a y=-2x dla wartości ujemnych x jest także ciągła i osiąga wartości z przedziału [0, +∞). Ponieważ wartości hiperbol są ograniczone na przedziale [-1; 0), więc nie wpływają praktycznie na sumę złożenia funkcji: liniowej i hiperbolicznej. A więc wartościami danej funkcji jest przedział [-1, +∞).

Załączam rysunek z wykresem.