Question

Funkcja kwadratowa.

Nie obliczając pierwiastków równania -√2x²+√6x + 1 = 0 oblicz wartość wyrażenia:

A. (3 - x)(x - 3) =

B. 1/x + 1/x =

C. x³ + x³ =

Przy pierwszych iskach w równaniach jest indeks dolny 1, przy drugich 2.

Answer 1

- √2x² + √6x + 1 = 0

a = - √2; b = √6; c = 1

 

Jeśli x₁ i x₂ są pierwiastakami równania to na podstawie wzorów Viète'a mamy:

x₁ + x₂ = - b / a = - √6 / - √2 = √3

x₁ · x₂ = c /a = 1/- √2 = - √2/2

 

A.

(3 - x₁)(x₂ - 3) = 3x₂ - 9 - x₁x₂ + 3x₁ = - x₁x₂ + 3x₁ + 3x₂ - 9 = - x₁x₂ + 3 · (x₁ + x₂) - 9 = -( - √2/2) + 3 · (√3) - 9 = √2/2 + 3√3 - 9

 

B.

1/x₁ + 1/x₂ = x₂/x₁x₂  +  x₁/x₁x₂ = x₂+x₁/x₁x₂ = √3 : (- √2/2) = √3 · (- 2/√2) = - 2√3/√2 = - 2√3·√2/√2·√2 = - 2√6/2 = - √6

 

C.

x₁³ + x₂³ = (x₁+x₂)(x₁²-x₁x₂+x₂²) = (x₁+x₂)(x₁² + 2x₁x₂ + x₂² - 3x₁x₂) = (x₁+x₂)[(x₁ + x₂)² - 3x₁x₂] = (√3)·[(√3)² - 3·(- √2/2)] = √3 · (3 + 3√2/2) = 3√3 + 3√6/2