Question

1)Obliczyć postacią trygonometryczną 1-i/1+i
2)obliczyć pierwiastek zespolony
∛-i
3)obliczyć f’(x) i zbadać miejsce zerowe pochodnej
F(x)=ar ctg (x+1/x²+5)
4)obliczyć lim x dąży do 0+ x*e do potęgi 3/x
5)znaleźć przybliżenie licząc df liczby 1,23 do potęgi 2,98

Answer 1

Zad 1:

więc mamy liczbę z = 1-i/1+i

każdą liczbę zespoloną można zapisać jako z = |z|(cosφ+isinφ)

gdzie φ jest argumentem liczby z (w radianach)

przekształćmy (1-i)/(1+i) i pomnóżmy licznik i mianownik przez (1-i):
(1-i)/(1+i) * (1-i)/(1-i) = (1-i)²/(1²-i²) = (1-2i+i²)/(1+1) = (1-2i-1)/2 = -2i/2 = -i

tak więc (1-i)/(1+i) = -i
moduł -i = 1

natomiast φ=270⁰=³/₂ π

z=|1|(cos³/₂π+isin³/₂π) = (cos³/₂π+isin³/₂π)

Zad 2:
∛-i

są dokładnie 3 rozwiązania w zbiorze liczb zespolonych, a więc mamy wzór:
z_k = |z|^(1/n) [cos(φ+2kπ)/n + isin(φ+2kπ)/n], dla k=0,1,2,3...

gdzie z^(1/n) oznacza pierwiastek z "z" n-tego stopnia... liczymy moduł z:

z=-i --> |z|=1
φ=³/₂ π

z₀=∛1[cos(³/₂ π+2*0*π)/3 + isin(³/₂ π+2*0*π)/3]
z₀=[cos(³/₂π)/3 + isin(³/₂π)/3]
z₀=(cos½π + isin½π)
z₀=0+i*1=i

z₁=∛1[cos(³/₂ π+2*1*π)/3 + isin(³/₂ π+2*1*π)/3]
z₁=[cos(³/₂ π+2π)/3 +isin(³/₂ π+2π)/3]
z₁=[cos(⁷/₂π)/3 + isin(⁷/₂π)/3]
z₁=[cos⁷/₆π + isin⁷/₆π]

wiemy, że ⁷/₆π = π + π/6
z₁=[cos(π + π/6) + isin(π + π/6)]

cos(π+α)=-cosα
sin(π+α)=-sinα

z₁=-(cos π/6+ isin π/6)
z₁=-(√3/2+½i)
z₁=-√3/2 - ½i


z₂ = ∛1[cos(³/₂ π+2*2*π)/3 + isin(³/₂ π+2*2*π)/3]
z₂ =[cos(³/₂ π + 4π)/3 + isin(³/₂ π + 4π)/3]
z₂ =[cos(¹¹/₂π)/3 + isin(¹¹/₂π)/3]
z₂ =(cos ¹¹/₆π + isin ¹¹/₆ π)

¹¹/₆π = π+⅚π

z₂ =(cos (π+⅚π) + isin (π+⅚π))

już wiemy:
cos(π+α)=-cosα
sin(π+α)=-sinα

z₂ = -(cos⅚π + isin⅚π)
z₂ = -(-√3/2 + ½i)
z₂ = √3/2 - ½i


tak więc
∛-i = i, -√3/2 - ½i, √3/2 - ½i