Integrar (x^2-1/x-1)dx.... Question from @bruslee

October 2018 1 49 Report

Integrar (x^2-1/x-1)dx

seeker17 Tu pregunta es la siguiente...
Integrar

$\int\limits { \frac{ x^{2}-1 }{x-1} } \, dx$

Bueno lo que primero si te das cuenta es que en el numerador tenemos un caso de factoreo, que se llama diferencia de cuadrados...

$a^{2} - b^{2} =(a+b)(a-b)$

apliquemos ésto al numerador...así..

$( x^{2} -1)=(x+1)(x-1)$
entonces nuestra integral quedaría así

$\int\limits { \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)} } \, dx = \int\limits{(x+1)} \, dx$

y ésto ya está un poco más bonito de integrar...

recordemos algunas propiedades de las integrales..

$\int\limits^b_a ({f(x)+g(x)+h(x)...}) \, dx = \int\limits^b_a {f(x)} \, dx +\int\limits^b_a {g(x)} \, dx +\int\limits^b_a {h(x)} \, dx+... \\ \\ \\ \int\limits^b_a {kf(x)} \, dx =k\int\limits^b_a {f(x)} \, dx$

Éstas propiedades lo que nos garantiza, es que la integral de una varias funciones, es igual a la integral de los términos de esa función...y la segunda nos garantiza que si k pertenece a los reales, entonces k es una constante, y por lo tanto podemos sacarle de la integral...incluso con el signo..además...dos cosas mas

$\int\limits { x^{n} } \, dx = \frac{ x^{n+1} }{n+1} +C \\ \\ \\ \int\limits {k} \, dx =k\int\limits {} \, dx=k(x)+C$

Cuidado, ésto funciona solo cuando n ES DISTINTO DE (-1), ahí ya no funciona....

sabiendo por ahora éstas cosas....integremos..

$\int\limits {(x-1) } \, dx =(\int\limits {(x) } \, dx+\int\limits {(-1) } \, dx)= \frac{ x^{2} }{2} +(-1)\int\limits { \, dx= \frac{ x^{2} }{2} -x+C \\ \\$

y eso sería todo, espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas...
Note: no te olvides de la constante de integración...(bajan nota por eso...:()

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