Question

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja określona wzorem f(x)= (m^2 -4)x^2 + 2(m+2)x -3 przyjmuje wartości ujemne dla każdej liczby rzeczywistej x.

Answer 1

F(x) = (m^2-4)x^2 + 2(m+2)x - 3
f(x) <  0 dla x ∈ R

PIERWSZY PRZYPADEK;
- funkcja f(x) jest liniowa i ma postać f(x) = -3
gdy:

m^2-4 = 0               i 2(m+2) = 0
(m-2)(m+2) = 0        i    m + 2 = 0
(m = 2 lub m = -2)    i    m = -2

Dla m = -2 funkcja f(x) przyjmuje tylko wartości ujemne .

DRUGI PRZYPADEK
-  funkcja f(x) jest parabolą położoną pod osią OX
gdy:

a)  m^2-4 < 0    i
b)  Δ < 0

Ad a)
m^2-4 < 0
(m-2)(m+2) <0
m1 = 2       m2 = -2
Parabola ma ramiona zwrócone w górę więc:
m ∈ (-2 , 2 )

Ad b)
Δ = [2(m+2)]^2 - 4*(m^2-4)*(-3) = 4(m^2+4m + 4) + 12(m^2-4) = 4m^2 + 16m + 16 + 12m^2 - 48 = 16m^2 + 16m - 32 = 16(m^2 + m - 2)
Δ <0
gdy
m^2 + m - 2 <0
Δ = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9
√Δ = 3
m1 = (-1-3)/2 = -4/2 = -2
m2 = (-1+3)/2 = 2/2 = 1
Parabola ma ramiona w górę więc rozwiązaniem nierówności jest:
m ∈ (-2,1)

Część wspólna wyników nierówności z warunku a)  m ∈ (-2,2) i b) m ∈ (-2,1):

m∈ (-2, 1)

Pamiętając o pierwszym przypadku do rozwiązania włączamy -2:
m ∈ <-2,1)