Question

Wyznacz wszystkie wartości parametru k tak, aby dziedziną wyrażenia 3x^2-2x+7 (kreska ułamkowa) x^4+2(k-4)x^2+k^2+6k+3 był zbiór R.

Answer 1

[3x² - 2x + 7] / [x⁴ + 2·(k - 4)x² + k² + 6k + 3]

Dziedziną tego wyrażenia będzie zbiór liczb rzeczywistych, jeśli dla x ∈ R wyrażenie w mianowniku będzie różne od zera.

Zatem:

x⁴ + 2·(k - 4)x² + k² + 6k + 3 ≠ 0

x² = t

t² + 2·(k - 4)t + k² + 6k + 3 ≠ 0

 

Musimy sprawdzić, dla jakich wartości k funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, czyli dla jakich wartości k wyróżnik Δ jest mniejszy od zera.

Wyznaczamy Δ:

Stąd:

Zatem dla:

dziedziną wyrażenia (3x² - 2x + 7) / (x⁴ + 2(k - 4)x² + k^2 + 6k + 3) będzie zbiór R.