Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie ma dokładnie jeden pierwiastek : 1. x^2+(m-3)x+m=.... Question from @Calle

November 2018 1 114 Report

Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie ma dokładnie jeden pierwiastek : 1. x^2+(m-3)x+m=0 2. 3x^2+(m+3)x+m=0 3. -mx^2+4mx+4m-12=0 i np w 1 wiem że delta ma być 0 i liczę b^2-4ac i nie wiem czy mam liczyć (m-3)^2 czy (m-3)x^2 i ogólnie nie rozumiem, więc jakby ktoś mógł wytłumaczyć jak dziecku, to byłbym wdzięczny :)

Roma

$x^2+(m-3)x+m=0 \\\ a = 1; \ b = m - 3; \ c = m$

Współczynnik a = 1, czyli jest różny od zera, zatem dane równanie, będzie miało jedno rozwiązanie, gdy Δ = 0.

$\Delta = (m - 3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = m^2 - 6m + 9 - 4m = m^2 - 10m + 9 \\\\ m^2 - 10m + 9 = 0 \\\ \Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 =100 - 36 = 64 \\\ m_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2}=1 \\\ m_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2}=9$

Odp. Równanie ma dokładnie jeden pierwiastek dla m = 1 lub m = 9.

$3x^2+(m+3)x+m=0 \\\ a = 3; \ b = m + 3; \ c = m$

Współczynnik a = 3, czyli jest różny od zera, zatem dane równanie, będzie miało jedno rozwiązanie, gdy Δ = 0.

$\Delta = (m+3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot m = m^2 + 6m + 9 - 12m= m^2 - 6m + 9 \\\\ m^2 - 6m + 9 = 0 \\\ (m - 3)^2 = 0 \ /^{\sqrt{}} \\\ m - 3 = 0 \\\ m = 3$

Odp. Równanie ma dokładnie jeden pierwiastek dla m = 3.

$-mx^2+4mx+4m-12=0 \\\ a = -m; \ b = 4m; \ c = 4m - 12$

Współczynnik a = - m, zatem sprawdzamy najpierw przypadek, gdy podane równanie nie jest równaniem kwadratowym, czyli gdy a = 0.

$- m = 0 \ / \cdot (- 1) \\\ m = 0$

Dla m = 0 dane równanie jest równaniem liniowym, więc sprawdzamy, czy ma dokładnie jeden pierwiastek.

$-mx^2+4mx+4m-12=0 \ i \ m = 0 \\\\ - 0 \cdot x^2 + 4 \cdot 0 \cdot x + 4 \cdot 0 - 12 = 0 \\\ - 12 = 0 \ - \ sprzeczno\'s\'c$

Zatem dla m = 0 dane równanie nie ma pierwiastków.

Pozostaje sprawdzić dla jakich m wyróżnik Δ jest równy zero.

$-mx^2+4mx+4m-12=0 \\\ \Delta = (4m)^2 - 4 \cdot (-m) \cdot (4m - 12) = 16m^2 - 4 \cdot (- 4m^2 + 12m) = \\\ = 16m^2 + 16m^2 - 48 m = 32m^2 - 48m \\\\ 32m^2 - 48 = 0 \\\ 16m \cdot (2m - 3) = 0 \\\ 16m = 0 \ lub \ 2m - 3 = 0 \\\\ 16m = 0 \ / :16 \\\ m = 0 \ - \ odrzucamy \\\ (dla \ m = 0 \ r\'ownanie \ nie \ ma \ pierwiastk\'ow) \\\\ 2m - 3 = 0 \\\ 2m = 3 \ /:2 \\\ m = 1,5$