Question

wyznacz w postaci iloczynowej i kanonicznej równanie paraboli przechodzącej przez pkt ABCA (1,0) B (4,0) C (3,-4)

Answer 1

y=ax^2+bx+c

 

A=(1,0):   0=a+b+c

B=(4,0):   0=16a+4b+c

C=(3,-4):  -4=9a+3b+c    taki układ

 

z I: c=-a-b

do II i III wstawiam c=-a-b:

  0=16a+4b-a-b

  -4=9a+3b-a-b    układ

 

15a=-3b

-4=8a+2b

 

b=-5a

-4=8a+2*(-5)*a

 

-4=8a-10a

-4=-2a

a=2

b=-5*a=-5*2=-10

c=-a-b=-2+10=8

 

mamy równanie:   y=2x^2-10x+8

delta=100-4*2*8=100-64=36

pierw(delta)=6

x1=(10-6)/4=1

x2=(10+6)/4=4

 

postać iloczynowa:   y=2(x-1)(x-4)

 

wierzchołek W=(p,q)

p=-b/2a=10/4=5/2

q=-delta/4a=-36/8=-9/2

 

postać kanoniczna:  y=2(x- 5/2)^2 -9/2

Answer 2

 

Punkty A i B to miejsca zerowe paraboli, co ułatwia nam sprawę, może dojść do wzoru za pomocą postaci iloczynowej.

A(1,0)  --> miejsce zerowe x1=1

b(4,0)  --> miejsce zerowe x2=4

 

Wzór:

f(x)=a(x-x1)(x-x2)

f(x)=a(x-1)(x-4)

 

Dodatkowo funkcja przechodzi przez punkt C (3,-4). Współrzędne x=3 i y=-4 podstawiamy do wzoru powyżej, dzięki czemu wyliczymy współczynnik a.

 

-4=a(3-1)(3-4)

-4=-2a

a=2

 

Wzór w postaci iloczynowej:

f(x)=2(x-1)(x-4)

 

żeby doprowadzić do postaci kanonicznej wymnażasz wszystkie nawiasy przed siebie i otrzymujesz wzor:

 

f(x)=2x^2-10x+8   -> to jest wzór w postaci ogólnej

 

Teraz liczysz p i g:

 

p=-b/2a

 

q=-delta/4a

 

Na końcu p i q podstawiasz do wzoru i to jest twoja postać kanoniczna