Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie (x^2-x-2)(x^2+(m-3)x+1)=0 ma cztery różne pier.... Question from @xenon1234

August 2018 1 13 Report

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie (x^2-x-2)(x^2+(m-3)x+1)=0 ma cztery różne pierwiastki.

Dawid1987Gumis Zauważmy, że równanie $(x^2-x-2)(x^2+(m-3)x+1)=0$ możemy zapisać równoważnie jako $x^2-x-2=0 \vee x^2+(m-3)x+1=0$ .
Aby wyjściowe równanie miało cztery różne pierwiastki rzeczywiste, to:
$1)$ Każde z obydwu równań kwadratowych musi mieć dwa różne rozwiązania.
$2)$ Rozwiązania pierwszego równania nie mogą być rozwiązaniami drugiego równania.

$ad. \,1)$
Zajmiemy się najpierw pierwszym z powyższych równań. Aby miało ono dwa różne pierwiastki rzeczywiste potrzeba i wystarcza aby wyróżnik tego trójmianu kwadratowego był dodatni, zatem:
$\Delta_1=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)=1+8=9\ \textgreater \ 0$
Wspomniany wyróżnik jest dodatni, obliczmy zatem rozwiązania tegoż równania:
$><br /><br />Zajmiemy się teraz drugim z równań:<br /><img src=$

Wyznaczymy te wartości parametru $m$ , dla których powyższy wyróżnik jest dodatni:
$m^2-6m+5\ \textgreater \ 0\\
\Delta=(-6)^2-4\cdot 1 \cdot 5=36-20=16\\
\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4\\
m_1=\dfrac{6-4}{2}=1\\
m_2=\dfrac{6+4}{2}=5\\
\\
(*)m \in (-\infty;1) \cup (5;\infty)$

Pozostaje jeszcze spełnić warunek $2):$
wprowadźmy w tym celu oznaczenie: $w(x)=x^2+(m-3)x+1$
Wyznaczymy te wartości parametru $m$ , dla których liczby $-1$ oraz $2$ nie są pierwiastkami wielomianu $w$ :
$\left \{ {{w(-1)\not=0} \atop {w(2)\not=0}} \right. \\
 \left \{ {{1+3-m+1\not=0} \atop {4+2m-6+1\not=0}} \right. \\
 \left \{ {{5-m\not=0} \atop {2m-1\not=0}} \right. \\
 \left \{ {{m\not=5} \atop {m\not=\dfrac{1}{2}}} \right. \\
(**)m\in \mathbb{R} \backslash \left\{\dfrac{1}{2};5\right\}$

Pozostaje wyznaczyć te wartości parametru $m$ , które spełniają łącznie warunki $(*)$ oraz $(**)$ :
$m \in \left(-\infty;\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(\dfrac{1}{2};1\right) \cup \left(5;\infty\right)$

Odpowiedź: Równanie $(x^2-x-2)(x^2+(m-3)x+1)=0$ ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste dla $m \in \left(-\infty;\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(\dfrac{1}{2};1\right) \cup \left(5;\infty\right).$

19 votes Thanks 40