Question

Wyznacz rownanie obrazu okregu o w obrocie o kat alfa wokol punktu O jesli

a) o:(x-4)^2+(y+3)^2 =1, O (2;3) alfa =

b) o: x^2+y^2-2y=8, O=(-1;-2) alfa =

Prosilbym o wyjasnienie jak pisac te rownanka :)

Answer 1

b)

okrąg

x^2 + y^2 -2y = 8

(x - 0)^2 + (y -1)^2 -1 = 8

(X - 0)^2 + (Y -1)^2 = 9

zatem S = (0; 1)   oraz r = 3

ponadto  O = (-1; -2)  ,  alfa = (5/4) pi = 225 st

Mamy obrócić okrąg o danym równaniu wokół punktu O =(-1; -2) o kąt

alfa = 225 st

Korzystamy z wzorów na obrót punktu P o kąt alfa wokół punktu O=(0;0)

P = (x; y)  to P' = (x'; y')

gdzie

x' = x cos alfa - y sin alfa

y' = x sin alfa + y cos alfa

---------------------------------

Musimy najpierw przesunąć punkt O = ( -1; -2) do punktu   (0; 0)

czyli o wektor v = [ 1; 2]

O1 = (0; 0)

Podobnie postępujemy ze środkiem okręgu  i otrzymujemy

S1 = (1; 3)

Obracamy punkt S1 wokół punktu O1 = (0; 0) o kąt alfa 225 st

225 st = 180 st + 45 st

Mamy

x' = 1*cos 225 - 3*sin 225 = 1*(-cos 45) -3*( - sin 45) =

= - p(2)/2 + 3 p(2)/2 = p(2)

y' = 1*sin 225 + 3*cos 225 = 1*(- sin 45) +3*(- cos 45) =

= -p(2)/2 - 3 p(2)/2 = -4 p(2)/2 = - 2p(2)

zatem

S1 = ( p(2) ; -2p(2))

Teraz przesuwamy punkt S1  o  wektor przeciwny do wektora v

czyli o wektor   w = [-1; -2]

otrzymujemy punkt

S' =( p(2) -1 ; -2p(2) - 2)

jest to środek okręgu otrzymanego w wyniku obrotu o kąt  alfa = 225 st

wokół punktu O = (-1; -2)

Ponieważ translacja ( przesunięcie równoległe o wektor ) oraz obrót są

izometriami więc zachowują odległość  punktów, zatemi promień okręgu

obróconego będzie taki sam jak wyjściowego  czyli   r = 3.

Równanie okręgu obróconego:

( x - p(2) + 1)^2 + (y + 2p(2) + 2)^2 = 9

=====================================