Question

Wyznacz rosnące ciąg geometryczny wiedząc że suma wyrazów skrajnych jest równa 34 iloczyn tych wyrazów 64 a suma wszystkich wyrazów ciągu wynosi 62

Answer 1

Na podst. treści mamy układ równań:

 { a₁ + an = 34

 { a₁ · an = 64

 { Sn = 62

Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometr. :  an = a₁·q^(n-1) mamy:

  {a₁+a₁q^(n-1) = 34

  { a₁· a₁q^(n-1) = 64

  { a₁· (1-q^n)/(1-q) = 62

Z pierwszego równania mamy:  a₁q^(n-1) = 34-a₁  i podstawiamy to do drugiego równania:

  a₁·(34-a₁) = 64

 34a₁ - a₁² -64=0

 -a₁²+34a₁ -64 =0 ,    Δ=1156-256=900,   √Δ= 30,   a₁=2  lub  a₁= 32

Rozpatruję wariant dla a₁=2  i podstawiam to do pierwszego równania układu:

 2+2·q^(n-1) = 34

  2·q^(n-1) = 32  /:2

     q^(n-1) = 16    ⇔   (q^n)/q = 16   /·q

                                  q^n = 16q  , a to wyrażenie podstawiam do trzeciego równania

                                                      układu:

2·(1-16q)/(1-q) = 62   /:2

 (1-16q)/(1-q) = 31    /·(1-q)

 1-16q = 31-31q

   15q = 30  /:15

      q = 2

Czyli pierwszy wariant rozwiązania zadania to :  a₁= 2 , q = 2.

Dla q >1 ciąg geometr. jest rosnący, czyli odpowiedź spełnia warunek zadania.

Dla a₁=32  (możesz zupełnie identyczną drogę obliczeń powtórzyć) otrzymuje się

q = 16/31, czyli q<1, a wtedy ciąg geometryczny jest malejący, czyli ten przypadek należy odrzucić jako sprzeczny z warunkiem zadania.

Zatem odp. jest tylko jedna:  a₁=2, q=2.