7.120 wyznacz ciąg geometryczny w ktorym suma trzech począrkowych wyrazów jest równa 13/2 a suma kwa.... Question from @jag94

October 2018 1 24 Report

7.120 wyznacz ciąg geometryczny w ktorym suma trzech począrkowych wyrazów jest równa 13/2 a suma kwadratów tych wyrazów jest równe91/4 ?

7.122 w ciągu geometrycznym o sześciu wyrazach suma wyrazów na miejscach parzystych wynosi 91 a na miejscach nieparzystych 30 i 1/3.wyznacz ten ciąg?

7.126 cyfry szukanej liczbytrzecyfrowej tworzą ciąg geometryczny.suma kwadratow cyfry jednościi cyfry setek wyniosi 68.jeśli od tej liczby odejmiemy 594 to uzyskamy liczbę utworzoną z tych samych cyfr,ale napisanych w odwrotnej kolejności.znajdz te liczby

Roma

Zadania dotyczą ciagu geometrycznego, zatem:

1) n-ty wyraz ciągu geometrycznego (an) o ilorazie q wyraża się wzorem:

$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}, \ dla \ n \in N^+ \setminus \{1\}$

2) jeśli liczby a, b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to:

$b^2 = a \cdot c$

7.120

a, b, c - ciąg geometryczny

Na podstawie treści zadania i własności 2) otrzymujemy:

$\begin{cases} a+b + c=\frac{13}{2}\\a^2+b^2 + c^2=\frac{91}{4}\\b^2 = a \cdot c \end{cases}$

$\begin{cases} a+b + c=\frac{13}{2}\\a^2+ac + c^2=\frac{91}{4}\\b^2 = ac \end{cases}$

$\begin{cases} a+b + c=\frac{13}{2}\\a^2+2ac + c^2 - ac =\frac{91}{4}\\b^2 = ac \end{cases}$

$\begin{cases} a+b + c=\frac{13}{2}\\ (a + b)^2 - ac =\frac{91}{4}\\b^2 = ac \end{cases}$

$\begin{cases} a+ c=\frac{13}{2} - b\\ (\frac{13}{2} - b)^2 - b^2 =\frac{91}{4}\\b^2 = ac \end{cases}$

$\begin{cases} a+ c=\frac{13}{2} - b\\ (\frac{13}{2} - b - b)(\frac{13}{2} - b - b) =\frac{91}{4}\\b^2 = ac \end{cases}$

$\begin{cases} a+ c=\frac{13}{2} - b\\ (\frac{13}{2} - 2b)\cdot \frac{13}{2} =\frac{91}{4}\\b^2 = ac \end{cases}$

$\begin{cases} a+ c=\frac{13}{2} - b\\ \frac{169}{4} - 13b =\frac{91}{4}\\b^2 = ac \end{cases}$

$\begin{cases} a+ c=\frac{13}{2} - b\\ - 13b =\frac{91}{4}-\frac{169}{4} \\b^2 = ac \end{cases}$

$\begin{cases} a+ c=\frac{13}{2} - b\\ - 13b = -\frac{78}{4} \ / : (- 13)\\b^2 = ac \end{cases}$

$\begin{cases} a+ c=\frac{13}{2} - b\\ b = \frac{3}{2} \\b^2 = ac \end{cases}$

$\begin{cases} a+ c=\frac{13}{2} - \frac{3}{2} \\ b = \frac{3}{2} \\(\frac{3}{2})^2 = ac \end{cases}$

$\begin{cases} a+ c= 5 \\ b = 1\frac{1}{2} \\ \frac{9}{4} = ac \end{cases}$

$\begin{cases} a = 5 - c \\ b = 1\frac{1}{2} \\ \frac{9}{4} = (5 - c) \cdot c \end{cases}$

$\begin{cases} a = 5 - c \\ b = 1\frac{1}{2} \\ \frac{9}{4} = 5c - c^2 \end{cases}$

$\begin{cases} a = 5 - c \\ b = 1\frac{1}{2} \\ c^2 - 5c + \frac{9}{4} = 0 \end{cases}$

Rozwiążemy trzecie równanie z układu:

$c^2 - 5c + \frac{9}{4} = 0 \ / \cdot 4$

$4c^2 - 20c + 9 = 0$

$\Delta = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 400 - 144 = 256$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{256} = 16$

$c_1 = \frac{20-16}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$c_2 = \frac{20+16}{2 \cdot 4} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$

Stąd otrzymujemy:

$\begin{cases} a = 5 - c \\ b = 1\frac{1}{2} \\ c = \frac{1}{2} \end{cases} \ lub \ \begin{cases} a = 5 - c \\ b = 1\frac{1}{2} \\ c = 4\frac{1}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} a = 5 - \frac{1}{2} \\ b = 1\frac{1}{2} \\ c = \frac{1}{2} \end{cases} \ lub \ \begin{cases} a = 5 - 4\frac{1}{2} \\ b = 1\frac{1}{2} \\ c = 4\frac{1}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} a = 4\frac{1}{2} \\ b = 1\frac{1}{2} \\ c = \frac{1}{2} \end{cases} \ lub \ \begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = 1\frac{1}{2} \\ c = 4\frac{1}{2} \end{cases}$

---------------------

W rozwiązniu skorzystano ze wzoró skróconego mnożenia:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

a² - b² = (a - b)(a + b)

Odp. Szukany ciąg to: 4½, 1½, ½ lub ½, 1½, 4½.

7.122

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆ - ciąg geometryczny

Ze wzoru 1):

a₂ = a₁·q

a₃ = a₁·q²

a₄ = a₁·q³

a₅ = a₁·q⁴

a₆ = a₁·q⁵

Z treści zadania:

{a₂ + a₄ + a₆ = 91

{a₁ + a₃ + a₅ = ⁹¹/₃

{a₁·q + a₁·q³ + a₁·q⁵ = 91

{a₁ + a₁·q² + a₁·q⁴ = ⁹¹/₃

{a₁·q · ( 1 + q² + q⁴) = 91

{a₁ · (1 + q² + q⁴) = ⁹¹/₃

{a₁ · ( 1 + q² + q⁴) · q = 91

{a₁ · (1 + q² + q⁴) = ⁹¹/₃

{⁹¹/₃ · q = 91 /: ⁹¹/₃

{a₁ · (1 + q² + q⁴) = ⁹¹/₃

{q = 3

{a₁ · (1 + 3² + 3⁴) = ⁹¹/₃

{q = 3

{a₁ · (1 + 9 + 81) = ⁹¹/₃

{q = 3

{a₁ · 91 = ⁹¹/₃ /:91

{q = 3

{a₁ = ⅓

Stąd:

a₁ = ⅓

a₂ = ⅓ · 3 = 1

a₃ = ⅓ · 3² = ⅓ · 9 = 3

a₄ = ⅓ · 3³ = ⅓ · 27 = 9

a₅ = ⅓ · 3⁴ = ⅓ · 81 = 27

a₆ = ⅓ · 3⁵ = ⅓ · 243 = 81

Odp. Szukany ciag to: ⅓, 1, 3, 9, 27, 81.

7.126

a, b, c - cyfry liczby trzycyfrowej (a, b, c ∈ N, a ≠ 0)

a, b, c - ciąg geometryczny

Z treści zadania:

{c² + a² = 68

{100a + 10b + c - 594 = 100c + 10b + a

{c² + a² = 68

{100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 594

{c² + a² = 68

{99a - 99c = 594 /:99

{c² + a² = 68

{a - c = 6

{c² + a² = 68

{a = 6 + c

{c² + (6 + c)² = 68

{a = 6 + c

{c² + 36 + 12c + c² - 68 = 0

{a = 6 + c

{2c² + 12c - 32 = 0

{a = 6 + c

Rozwiążemy pierwsze równanie:

2c² + 12c - 32 = 0 /:2

c² + 6c - 16 = 0

Δ = 6² - 4 · 1 · (- 16) = 36 + 64 = 100

√Δ = √100 = 10

c₁ = (- 6 - 10) / (2 · 1) = - 16 / 2 = - 8 < 0 (odrzucamy)

c₂ = (- 6 + 10) / (2 · 1) = 4 / 2 = 2 > 0

Stąd otrzymujemy:

{c = 2

{a = 6 + 2

{a = 8

{c = 2

Z własności ciagu geoemtrycznego 2):

b² = a · c

b² = 8 · 2

b² = 16

b = 4 > 0 lub b = - 4 < 0 (odrzucamy)

{a = 8

{b = 4

{c = 2

Odp. Szukana liczba to 842.

4.0

1 głos

Oceń!

Zaloguj się by dodać komentarz

Chcesz przeczytać odpowiedź? Zobacz dostępne opcje!

4.0

1 głos

Oceń!

what's your neighbourhood like?what's your room like?what's your idea of a perfect flat or house?would you prefer to live in the city or in the countryside when you're older?

Wyznacz rosnące ciąg geometryczny wiedząc że suma wyrazów skrajnych jest równa 34 iloczyn tych wyrazów 64 a suma wszystkich wyrazów ciągu wynosi 62