Question

Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia funkcji f(x) = arctg (2x+1), x∈ R

Answer 1

  dziedzina  funkcji x∈ R
dla przebiegu funkcji wyznaczamy  pierwszą i drugą pochodną

 

1pochodna :

 

d/dx (arctg(2x+1))  =  ; podstawiamy  : u = 2x+1 ;

d/dx (arctg(2x+1))= d/du  arctg(u) · du/dx =( 1/ 1 +u^2) · du / dx=

= 1/(1+(2x+1)^2 ) · d(2x+1) / dx = 1/(1+(2x+1)^2 ) · d/dx (2x+1) =

= 1/(1+(2x+1)^2 ) · 2 = 2/(1+(2x+1)^2 )=  2/(4x^2+4x+1+1)= 1/(2x^2+2x+1)

 

1 > 0

2x^2+2x+1 > 0 w całej dziedzinie 

stąd wartość pierwszej pochodnej w całej dziedzinie f(x) > 0    to dowód że :

  f(x) w całej dziedzinie  jest rosnąca.

 

2 pochodna

 d/dx (1/(2x^2+2x+1))= - d/dx(2x^2+2x+1) / (2x^2+2x+1)^2 =

= -(4x + 2) / (2x^2+2x+1)^2 

 

mianownik:  (2x^2+2x+1)^2   > 0     w całej dziedzinie

licznik :    bywa dodatni i bywa ujemny, wtedy kiedy  będzie wynosił 0 wartość drugiej pochodnej będzie równa 0

-(4x+2) = 0

4x=-2

x=-1/2  

 

stąd punkt przegięcia f(x)  = f(-1/2)

 

tam gdzie licznik jest dodatni to druga pochodna jest dodatnia, a f(x) wypukła

 

-(4x+2) > 0

-4x-2>0

-4x>2

4x<-2

x<-1/2

 

tam gdzie licznik jest ujemny to druga pochodna jest ujemna, a f(x) wklęsła

 

-(4x+2) < 0

-4x-2<0

-4x<2

4x>-2

x>-1/2

 

podsumowanie

 

dla x> -1/2  f(x)  jest  wlęsła

dla x= -1/2 punkt przegięcia

dla x< -1/2 f(x)  jest wypukła

 

dla x∈ (-oo ; +oo)  f(x) jest rosnąca