Question

Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x), jeśli

W(x)= 3(x-2)² - (x⁴ - 4x³ + 4x²)

Answer 1

Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x), jeśli

W(x)= 3(x-2)² - (x⁴ - 4x³ + 4x²)

W(x) = 3(x² -4x +4) - x⁴+4x³ -4x²

W(x) = 3x² -12x +12 -x⁴ +4x³ -4x²

W(x) = -x⁴+4x³ -x² -12x +12

W(2) = -(2⁴) +4*2³ -2² -12*2 +12 = - 16 + 32 -4 -24 +12 = 44 - 44 = 0

Ponieważ W(2) = 0 , to  x = 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) tzn.,że wielomian W(x) dzieli się bez reszty przez dwumian (x -2)

 

(-x⁴+4x³ -x² -12x +12) : ( x -2) =  -x³ + 2x² +3x -6

 +x⁴-2x³

-----------

 =    2x³ -x² -12x +12

      -2x² +4x²

      -------------

       =    3x² -12x +12

            -3x² +6x

           ------------

             =    -6x +12

                   +6x -12

                  -----------

                     =     =

 

W(x) =(-x⁴+4x³ -x² -12x +12) =  ( x -2)*( -x³ + 2x² +3x -6)

teraz  rozkładam wielomian G(x) = -x³ + 2x² +3x -6

 

G(2) = -2³ +2*2² +3*2 -6 = -8 +8 +6 -6 = 0

jeżeli G(2) = 0 , to wielomian G(x) dzieli się bez reszty przez dwumian x -2

 

(-x³ + 2x² +3x -6) : (x-2) = -x² +3

 +x³ - 2x²

---------

 =     =    3x -6

            -3x +6

            --------

             =    =

 

Wobec tego wielomian W(x) mozna zapisać w postaci iloczynowej

w(x) = (-x⁴+4x³ -x² -12x +12) =  ( x -2)*( -x³ + 2x² +3x -6)

W(x) = (x-2)(x-2)(-x² +3)

W(x) = (x-2)(x-2)( 3 -x²)

 

Korzystam ze wzoru skróconego mnożenia 

a² - b² = (a+b)(a-b)

W(x) = (x-2)(x-2)(√3-x)(√3 +x)

W(x) = (x-2)²*(√3-x)(√3 +x)

 

Obliczam pierwiastki wielomianu

W(x) = 0

(x-2)²*(√3-x)(√3 +x) = 0

x -2 = 0,  lub √3 -x = 0,  lub √3 +x = 0

x = 2(II)   lub  x = √3,     lub  x = -√3

 

x=2(II) - ozn. pierwiastek podwójny