Question

Wyznacz parametr m który należy do liczb Rzeczywistych, dla którego równie ||x-1|-4|=m² ma dwa pierwiastki różnych znaków.

Answer 1

Rozwiązanie tego rozpatrzę jako dwie funkcje:

f(x) = ||x-1|-4|
g(x) = m^2 - jest to funkcja stała
Wykres funkcji f(x):
--dla x -1 <0 ==> x< 1
|x-1| = -x+1
f(x) = |-x+1-4| = |-x-3|
----dla -x-3<0 ==> -x < 3  ==>x >-3
|-x-3| = x+3
f(x) = x+3 w przedziale (-3 ; 1)
----dla -x-3 ≥0 ==> -x≥3 ==> x≤-3
|-x-3| = -x-3
f(x) = -x-3 w przedziale (-∞ ; -3)

--dla x-1≥0 ==> x ≥1
|x-1| = x-1
f(x) = |x-1-4| = |x-5|
----dla x-5 <0 == > x < 5
|x-5| = -x+5
f(x) = -x+5 w przedziale <1 ; 5)
----dla x-5≥0 ==> x≥5
|x-5| = x-5
f(x) = x-5 w przedziale <5 ; +∞)
Wykres w załączniku.
Przykład funkcji g(x) = m² narysowana na czerwono.
Analizując wykres widać że dla m² ∈ <0;4> jest więcej niż 2 rozwiązania., a mamy mieć tylko 2 pierwiastki.
Dla m² ∈ (4 ; ∞) jest 2 pierwiastki o przeciwnych znakacjch czyli dla m ∈ (-∞;-2) ∨(2;∞)