Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną n, dla której zbiór rozwiązań podanego równania jest zawarty w .... Question from @KAKA7777

December 2018 1 11 Report

Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną n, dla której zbiór rozwiązań podanego równania jest zawarty w przedziale < -n; n>.
Odpowiedzi:
a) n=1
b) n=2
c) n=3
d) n=2
e) n=8
f) n=7

Proszę o wyjaśnienie! :)

Cyna4 Witaj.

Najpierw musimy rozwiązać dane równanie i zobaczyć jakie wychodzą pierwiastki. W poleceniu chodzi o to, że musimy dobrać najmniejszą taką liczbę n, aby wszystkie te rozwiązania "zmieściły się" w danym przedziale. Przykładowo, gdy otrzymamy rozwiązanie -3,5 -> to należy dać przedział <-4;4>, ponieważ w nim ta liczba się znajduje, zaś w <-3;3> już jej nie ma. Gdy zaś otrzymamy rozwiązania -3 lub 5, to musimy wziąć przedział <-5;5>, aby oba rozwiązania w nim się znalazły, zatem n=5.

a)

$\frac{1}{4x}=x$

Dziedzina:

$D:\\\\4x\neq0\\\\x\neq0\\\\D=R\ \backslash\{0\}$

Rozwiązujemy:

$\frac{1}{4x}=x\\\\4x^{2}=1\\\\x^{2}=\frac{1}{4}\\\\x=-\frac{1}{2}\ \ lub\ \ x=\frac{1}{2}\\\\x\in\{-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\}$

Bierzemy przedział:

$<-1;1>$

Czyli:

$n=1$

b)

$\frac{1}{2x}=\frac{x}{5}$

Dziedzina:

$D:\\\\2x\neq0\\\\x\neq0\\\\D=R\ \backslash\{0\}$

Rozwiązujemy:

$\frac{1}{2x}=\frac{x}{5}\\\\2x^{2}=5\\\\x^{2}=\frac{5}{2}\\\\x^{2}=\frac{10}{4}\\\\x=-\frac{\sqrt{10}}{2}\approx-1,58\ \ lub\ \ x=\frac{\sqrt{10}}{2}\approx1,58\\\\x\in\{-\frac{\sqrt{10}}{2};\frac{\sqrt{10}}{2}\}$

Bierzemy przedział:

$<-2;2>$

Czyli:

$n=2$

c)

$\frac{2}{5-x}=\frac{x}{3}$

Dziedzina:

$D:\\\\5-x\neq0\\\\x\neq5\\\\D=R\ \backslash\{5\}$

Rozwiązujemy:

$\frac{2}{5-x}=\frac{x}{3}\\\\x(5-x)=6\\\\5x-x^{2}=6\\\\x^{2}-5x+6=0\\\\(x-2)(x-3)=0\\\\x-2=0\ \ lub\ \ x-3=0\\\\x=2\ \ lub\ \ x=3\\\\x\in\{2;3\}$

Bierzemy przedział:

$<-3;3>$

Czyli:

$n=3$

d)

$\frac{1}{x}-\frac{x+1}{2}=0$

Dziedzina:

$D:\\\\x\neq0\\\\D=R\ \backslash\{0\}$

Rozwiązujemy:

$\frac{1}{x}-\frac{x+1}{2}=0\\\\\frac{1}{x}=\frac{x+1}{2}\\\\x(x+1)=2\\\\x^{2}+x=2\\\\x^{2}+x-2=0\\\\(x+2)(x-1)=0\\\\x+2=0\ \ lub\ \ x-1=0\\\\x=-2\ \ lub\ \ x=1\\\\x\in\{-2;1\}$

Bierzemy przedział:

$<-2;2>$

Zatem:

$n=2$

e)

$\frac{x+2}{x-2}=\frac{x-3}{x-5}$

Dziedzina:

$D:\\\\\fbox{1}\ x-2\neq0\\\\x\neq2\\\\x\in R\ \backslash\{2\}\\\\\fbox{2}\ x-5\neq0\\\\x\neq5\\\\x\in R\ \backslash\{5\}\\\\\fbox{1}\ \cap\ \fbox{2}\\\\D=R\ \backslash\{2;5\}$

Rozwiązujemy:

$\frac{x+2}{x-2}=\frac{x-3}{x-5}\\\\(x-2)(x-3)=(x+2)(x-5)\\\\x^{2}-5x+6=x^{2}-3x-10\\\\-5x+6=-3x-10\\\\2x=16\\\\x=8$

Bierzemy przedział:

$<-8;8>$

Stąd:

$n=8$

f)

$\frac{x+5}{2}=\frac{x-13}{x-8}$

Dziedzina:

$D:\\\\x-8\neq0\\\\x\neq8\\\\D=R\ \backslash\{8\}$

Rozwiązujemy:

$\frac{x+5}{2}=\frac{x-13}{x-8}\\\\(x+5)(x-8)=2(x-13)\\\\x^{2}-3x-40=2x-26\\\\x^{2}-5x-14=0\\\\(x-7)(x+2)=0\\\\x-7=0\ \ lub\ \ x+2=0\\\\x=7\ \ lub\ \ x=-2\\\\x\in\{-2;7\}$

Bierzemy przedział:

$<-7;7>$

Zatem:

$n=7$

24 votes Thanks 36