Question

Wyznacz a i b tak, aby [P(x)]²=Q(x), jeżeli P(x)=3x²-2ax+b oraz Q(x)=9x⁴+3(b-2a)x³+(5b²-4)x²+8x+2a²b

Answer 1

Wyznacz a i b tak, aby [P(x)]²=Q(x), jeżeli P(x)=3x²-2ax+b oraz Q(x)=9x⁴+3(b-2a)x³+(5b²-4)x²+8x+2a²b

(3x²-2ax+b)² = 9x⁴ - 6ax³ + 3bx² - 6ax³ + 4a²x² - 2abx + 3bx² - 2abx + b² = 9x⁴ - 12ax³ + (4a²+6b)x² - 4abx + b²

9x⁴ - 12ax³ + (4a²+6b)x² - 4abx + b² = 9x⁴ + 3(b-2a)x³ + (5b²-4)x² + 8x + 2a²b

-12a=3(b-2a)
4a²+6b=5b²-4
-4ab=8
b²=2a²b
________

-12a=3(b-2a)
-4a=b-2a
b=-2a

b²=2a²b
b=2a²

-2a=2a²
a=-1
b=2

po podstawieniu do 4a²+6b=5b²-4
-4ab=8 - ok.

Answer 2

Z treści zadania P(x)=3x²-2ax+b oraz Q(x)=9x⁴+3(b-2a)x³+(5b²-4)x²+8x+2a²b
[P(x)]²=(3x²-2ax+b)²=9x⁴+4a²x²+b²-2*6ax³-2*2abx+2*3bx²=9x⁴-12ax³+x²(4a²+6b)-4abx+b²
[P(x)]²=Q(x)<=>9x⁴-12ax³+x²(4a²+6b)-4abx+b²=9x⁴+3(b-2a)x³+(5b²-4)x²+8x+2a²b
Wyrażena te są sobie równe wtedy i tylko wtedy gdy liczby stojące przy odpowiednich indeksach są sobie równe zatem
-12a=3(b-2a)<=>b=-2a
(4a²+6b)=(5b²-4)
-4ab=8<=>ab=-2
b²=2a²b<=>b=2a²
Po podstawieniu otrzymujemy -2a²=-2
a=₋1oraz b=2