Question

Wykresy funkcji kwadratowych f(x)=4x^2−ax+3b oraz g(x)=4x2+bx−3a, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi i a≠−b, przecinają oś OX w tym samym punkcie A.

a). Oblicz odciętą punktu A.

b).Wiedząc dodatkowo, że dla argumentu −1 wartość funkcji f wynosi 8, wyznacz wzory obu funkcji w postaci ogólnej, następnie wzór funkcji f w postaci iloczynowej, a wzór funkcji g w postaci ogólnej.

Answer 1

a) f(x) = 0 <=> 4x^2 - ax + 3b = 0

   g(x) = 0 <=> 4x^2 + bx - 3a = 0

4x^2 - ax + 3b = 4x^2 + bx - 3a

- ax + 3b = bx - 3a

ax + bx = 3a + 3b

x(a+b) = 3(a+b)   //możemy podzielić przez (a+b) ponieważ a jest różne od -b czyli ich suma jest różna od 0

x = 3

 

b) f(-1) = 8 oraz f(3) = 0

8 = 4(-1)^2 + a + 3b

0 = 4(3)^2 - 3a + 3b

 

8 = 4 + a + 3b

0 = 36 - 3a + 3b

 

4 = a + 3b

-36 = -3a + 3b

 

4 = a + 3b

36 = 3a - 3b

 

4 + 36 = a + 3b + 3a - 3b

40 = 4a

a = 10

b = (4 - a)/3 = -2

 

f(x) = 4x^2 -10x -6

 

DELTA = 100+96 = 196

pierw z DELTA = 14

x1 = (10 - 14)/8 = -0,5

x2 = (10+14)/8 = 3

 

Wzór f w postaci iloczynowej:

f(x) = 4(x - 3)(x + 0,5)

 

g(x) = 4x^2 - 2x - 30

 

DELTA = 4 + 480 = 484

p = 2/8 = 0,25

q = -484/16 = -30,25

 

Wzór g w postaci kanonicznej:

g(x) = 4(x - 0,25)^2 - 30,25