Wykaż ze liczba 1 przez 2 - pierwiastek z 3 jest równa liczbie pierwiastek z 3 + 2zad2.jak obliczyc .... Question from @menaaa

October 2018 1 53 Report

Wykaż ze liczba 1 przez 2 - pierwiastek z 3 jest równa liczbie pierwiastek z 3 + 2

zad2.jak obliczyc 25% powierzchni koła?

zad3.Objetosc prostopadloscianu o wymiarach a x a x h wynosi 144 a pole powierzchni 168. Wymiary prostopadloscianu wynosza?

Fshrek

Zad. 1

$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ - znosimy niewymierność z mianownika

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} * \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

W mianowniku stosujemy wzór skróconego mnożenia $(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$

$\frac{2+\sqrt{3}}{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2+\sqrt{3}}{1} = 2 + \sqrt{3}$

Więc

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$

Co było do wykazania

Zad. 2

Pole powierzchni koła obliczamy ze wzoru

$P = \pi r^{2}$

25% z pola powierzchni koła można zapisać jako

$25\% P = 25\% * \pi r^{2}$

Ponieważ % oznacza setną część możemy zapisać:

$25\% P = \frac{25}{100} * \pi r^{2} = \frac{1}{4} \pi r^{2} = 0,25\pi r^{2}$

Zad. 3

Z danych wynika że prostopadłościan ma w podstawie kwadrat

Objętość prostopadłościanu liczymy ze wzoru:

$V = a * a * H = a^{2}* H$

Pole powierzchni całkowitej obliczamy ze wzoru:

$P_{c} = 2* P_{p} + 4 * P_{b}$

Pole podstawy obliczamy ze wzoru:

$P_{p} = a * a = a^{2}$

Pole powierzchni bocznej obliczamy ze wzoru:

$P_{b} = a * H$

Podstawiamy do wzoru na pole powierzchni całkowitej i otrzymujemy:

$P_{c} = 2* a^{2} + 4 * a * H$

Tworzymy układ równań ze wzorów na pole i objętość:

$\left \{ {{P_{c}=2* a^{2} + 4 * a * H} \atop {V =a^{2}* H}} \right.$

Podstawiamy znane wartości pola i objetości

$\left \{ {{168=2* a^{2} + 4 * a * H} \atop {144 =a^{2}* H}} \right.$

Z drugiego równania wyznaczamy H dzieląc obustronnie przez a²

$\left \{ {{168=2* a^{2} + 4 * a * H} \atop {\frac{144}{a^{2}} = H}} \right.$

Podstawiamy H do pierwszego równania

$\left \{ {{168=2* a^{2} + 4 * a * \frac{144}{a^{2}}} \atop {H = \frac{144}{a^{2}}}} \right.$

Rozwiązujemy pierwsze równanie z układu

$\left \{ {{168=2a^{2} + 4 * \frac{144}{a}} \atop {H = \frac{144}{a^{2}}}} \right.$

Mnożymy obustronnie pierwsze równanie przez a

$\left \{ {{168a=2a^{3} + 576} \atop {H = \frac{144}{a^{2}}}} \right.$

Przenosimy wszystko na lewą stronę

$\left \{ {{-2a^{3} + 168a -576 = 0} \atop {H = \frac{144}{a^{2}}}} \right.$

Zajmiemy się pierwszym równaniem:

$-2a^{3} + 168a -576 = 0$

Szukamy pierwiastka tego wielomianu wśród dzielników wyrazu wolnego, np.:

dla a = 1

$-2* 1^{3} + 168 * 1 -576 = -2 + 168 - 576 = -410$

a = 1 nie jest pierwiastkiem wielomianu, w ten sposób sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego aż trafimy na pierwiastek:

dla a = 6

$-2* 6^{3} + 168 * 6 -576 = -2 * 216 + 1008 - 576 = - 432 + 1008 - 576 = 0$

liczba 6 jest pierwiastkiem tego wielomianu, możemy więc podzielić ten wielomian przez dwumian (a - 6)

Dzielimy $(-2a^{3} + 168a -576):(a - 6)$

Dzielimy największą potęgę przez a, następnie wynik dzielenia przemnażamy przez wszystkie wyrazy z dwumianu i zmieniamy znaki wyników mnożenia na przeciwne...

1. $\frac{-2a^{3}}{a} = -2a^{2}$

2. $-2a^{2} * a = -2a^{3}\ ( zmiana \ znaku)\ 2a^{3}$

3. $-2a^{2} * 6 = -12a^{2}\ ( zmiana \ znaku)\ 12a^{2}$

Dodajemy do naszego wielomianu wynik mnożenia:

$-2a^{3} + 168a -576+2a^{3} + 12a^{2} = 12a^{2} + 168a - 576$

Otrzymany wynik znowu dzielimy przez dwumian

$(12a^{2} + 168a - 576):(a - 6)$

1. $\frac{12a^{2}}{a} = 12a$

2. $12a * a = 12a^{2}\ ( zmiana \ znaku)\ -12a^{2}$

3. $12a * 6 = 72a\ ( zmiana \ znaku)\ -72a$

Dodajemy do naszego wielomianu wynik mnożenia:

$12a^{2} + 168a - 576 -12a^{2} - 72a = 96a - 576$

Otrzymany wynik znowu dzielimy przez dwumian

$(96a - 576):(a - 6)$

1. $\frac{96a}{a} = 96$

2. $96 * a = 96a\ ( zmiana \ znaku)\ -96a$

3. $96 * 6 = 576\ ( zmiana \ znaku)\ -576a$

Dodajemy do naszego wielomianu wynik mnożenia:

$96a - 576 + (-96a + 576) = 96a - 576 - 96a + 576 = 0$

Składamy wynik dzielenia - bierzemy liczby które otrzymywaliśmy w punkcie 1:

$-2a^{2} + 12a + 96$

Nasze równanie ma teraz postać:

$(-2a^{2} + 12a + 96)(a - 6)=0$

Z pierwszego nawiasu wyznaczamy deltę:

$\Delta = b^{2} - 4ac = 12^{2} - 4 * (-2) * 96 = 144 + 768 = 912$

Pierwiastek z delty wynosi

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{912} = \sqrt{16 * 57} = 4\sqrt{57}$

Wyznaczamy a₁ i a₂

$a_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 - 4\sqrt{57}}{-4}$

wyciągamy -4 przed nawias w liczniku

$a_{1} = \frac{-4(3 + \sqrt{57})}{-4} = 3 + \sqrt{57}$

$a_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 + 4\sqrt{57}}{-4}$

wyciągamy -4 przed nawias w liczniku

$a_{2} = \frac{-4(3 - \sqrt{57})}{-4} = 3 - \sqrt{57}$

Wracamy do układu równań i szukamy dla każdego "a" odpowiadającego mu H

Pierwsza para liczb - pierwsze rozwiązanie:

$\left \{ {{a = 6} \atop {H = \frac{144}{6^{2}}}} \right. =>\left \{ {{a = 6} \atop {H = \frac{144}{36}} \right. => \left \{ {{a = 6} \atop {H = 4}} \right.$

Druga para liczb - drugie rozwiązanie:

$\left \{ {{a = 3 + \sqrt{57}} \atop {H = \frac{144}{(3 + \sqrt{57})^{2}}}} \right. =>\left \{ {{a = 3 + \sqrt{57}} \atop {H = \frac{144}{9 + 6\sqrt{57} + 57}} \right. => \left \{ {{a = 3 + \sqrt{57}} \atop {H = \frac{144}{66 + 6\sqrt{57}}} \right.$

W mianowniku wyciągamy wspólny czynnik przed nawias

$\left \{ {{a = 3 + \sqrt{57}} \atop {H = \frac{144}{6(11 + \sqrt{57})}} \right. => \left \{ {{a = 3 + \sqrt{57}} \atop {H = \frac{24}{(11 + \sqrt{57})}} \right.$

Znosimy niewymierność z mianownika

$\left \{ {{a = 3 + \sqrt{57}} \atop {H = \frac{24}{(11 + \sqrt{57})}* \frac{(11 - \sqrt{57})}{(11 - \sqrt{57})} \right. => \left \{ {{a = 3 + \sqrt{57}} \atop {H = \frac{264 - 24\sqrt{57}}{(121 - 57)} \right. => \left \{ {{a = 3 + \sqrt{57}} \atop {H = \frac{264 - 24\sqrt{57}}{64} \right.$

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias w liczniku

$\left \{ {{a = 3 + \sqrt{57}} \atop {H = \frac{8(33 - 3\sqrt{57})}{64} \right. = > \left \{ {{a = 3 + \sqrt{57}} \atop {H = \frac{33 - 3\sqrt{57}}{8} \right.$

Trzecia para liczb - trzecie rozwiązanie

$\left \{ {{a = 3 - \sqrt{57}} \atop {H = \frac{144}{(3 - \sqrt{57})^{2}}}} \right. =>\left \{ {{a = 3 - \sqrt{57}} \atop {H = \frac{144}{9 - 6\sqrt{57} + 57}} \right. => \left \{ {{a = 3 - \sqrt{57}} \atop {H = \frac{144}{66 - 6\sqrt{57}}} \right.$

W mianowniku wyciągamy wspólny czynnik przed nawias

$\left \{ {{a = 3 - \sqrt{57}} \atop {H = \frac{144}{6(11 - \sqrt{57})}} \right. => \left \{ {{a = 3 - \sqrt{57}} \atop {H = \frac{24}{(11 - \sqrt{57})}} \right.$

Znosimy niewymierność z mianownika

$\left \{ {{a = 3 - \sqrt{57}} \atop {H = \frac{24}{(11 - \sqrt{57})}* \frac{(11 + \sqrt{57})}{(11 + \sqrt{57})} \right. => \left \{ {{a = 3 - \sqrt{57}} \atop {H = \frac{264 + 24\sqrt{57}}{(121 - 57)} \right. => \left \{ {{a = 3 - \sqrt{57}} \atop {H = \frac{264 + 24\sqrt{57}}{64} \right.$

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias w liczniku

$\left \{ {{a = 3 - \sqrt{57}} \atop {H = \frac{8(33 + 3\sqrt{57})}{64} \right. = > \left \{ {{a = 3 - \sqrt{57}} \atop {H = \frac{33 + 3\sqrt{57}}{8} \right.$