Question

wykaż że pierwiastek z 7 + pierwiastek z 11 nie jest liczbą wymierną

Answer 1

Można to zrobić metodą nie wprost

 

Teza: √7+√11∈R\W

Hipoteza: √7+√11∈W

 

Definicja liczby wymiernej: Liczba wymierna to taka liczba, którą można przedstawić za pomocą dwóch liczb niewymiernych

 

√7=a/b /()²    a,b∈C

7=a²/b²

7b²=a²

 

Liczby b i a rozkładamy na czynniki pierwsze. W rozkładzie liczba 7 występuje lub niewystępuje. Po prawej stronie równania 7 nie występuje lub występuje parzyście, natomiast po lewej stronie nie występuje lub występuje nieparzyście co dowodzi, że 7 nie jest liczbą wymierną.

 

Podobnie z 11:

 

√11=c/d /()²    c,d∈C

11=c²/d²

11c²=d²

 

Liczby c i d rozkładamy na czynniki pierwsze. W rozkładzie liczba 11 występuje lub niewystępuje. Po prawej stronie równania 11 nie występuje lub występuje parzyście, natomiast po lewej stronie nie występuje lub występuje nieparzyście co dowodzi, że 11 nie jest liczbą wymierną.

 

Suma dwióch liczb niewymiernych nie może nam dać liczby wymiernej, co dowodzi, ze hipoteza jest fałszywa więc teza jest prawdziwa.