Question

Wykaż, że (patrz w załaczniku ) dla (patrz w zalacznik 2 )

Answer 1

. // "skrót z WSM".

 

. // Zawsze prawda!

 

Uzasadnienie:

 

Zero uzyskamy wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość: a = -b. Iloraz jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy mianownik nie należy do zbioru pustego, natomiast licznik jest zerem.

 

Aby uzyskać liczbę ujemną w ułamku, licznik i mianownik powinny być wyrażeniami "różnoimiennymi". Nie ma jednak możliwości wystąpienia takiej sytuacji.

 

Założenie, że a i b nie są zerem daje Nam pewność istnienia takiego ułamka.

Jeżeli pomnożymy kwadraty dwóch dowolnych liczb niebędących zerem, zawsze uzyskamy liczbę dodatnią. Kwadrat dowolnej liczby zawsze daje co najmniej zero. Mnożenie dwóch liczb nieujemnych daje zatem w wyniku liczbę nieujemną, a założenia zadania pokazują, że będzie to na pewno liczba dodatnia.

 

Licznikiem naszego ułamka jest natomiast nawias, którego wartość następnie podnosimy do kwadratu. Jak już stwierdziliśmy wcześniej, kwadrat dowolnej liczby zawsze daje co najmniej zero.

 

Wykazaliśmy, że zarówno licznik, jak i mianownik będą liczbami nieujemnymi, zatem cały ułamek będzie liczbą nieujemną.

 

 

Podczas wyprowadzania dowodu słuszności podanej nierówności, starałem się nie popełnić błędów metodycznych oraz działać z poszanowaniem wszelkich zasad obowiązujących powszechnie w matematyce. Niestety wykazywanie prawdziwości dowolnych zależności nierzadko wiąże się z licznym opisem słownym, czego i mi nie udało się uniknąć.

 

W razie problemów, polecam się pamięci. :)

Answer 2

   1      2       1

  --- -  ----- + ---- ≥ 0

  a²     ab      b²

 

        b² - 2ab + a²              (a - b)²

L = ----------------------  =  ---------------  ≥ 0          (gdyż licznik jest nieujemny , a  mianownik 

               a² b²                       a² b²                        dodatni dla  każdego   a, b ∈  R  \ {0}   )

                                                                 

                                                                                 c.n.d.