Question

Wykaż że liczba ∛5 jest liczba niewymierna.

Answer 1

Rozważmy wielomian

W(x)=x³-5

jego pierwiastkiem jest liczba ∛5

ale z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowirych wiemy, że jeśli ma on pierwiastki wymierne, to mogą być to tylko liczby ze zbioru dzielniików liczby 5: -5,-1;1;5

 

ale ∛5 nie jest równy żadnej z tych liczb, co oznacza,że jest on liczbą niewymierną

Answer 2

Załóżmy nie wprost, że  jest wymierna i równa ułamkowi nieskracalnemu . Wtedy:

 

 

Z czego wynika, że 5|p . Można więc przedstawić p = 5k, k ∈ Z

 

Z czego wynika, że 5|q . Tak więc i p, i q są podzielne przez 5, co jest sprzeczne z założeniem i kończy dowód.