Question

Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą i to liczba jest podzielna przez 8

Answer 1

zał.:

p jest pierwsza i p≥5

teza:

p²-17=8k ,gdzie k∈C

dowód:

p²-17=p²-1-16=(p+1)(p-1)-16

Liczba p jest liczbą pierwszą i większą lub równą 5, więc jest liczbą nieparzystą. Parzyste są wówczas liczby (p-1) i (p+1). Liczby (p-1) i (p+1) to 2 kolejne liczby całkowite parzyste, a wśród dwóch takich liczb jest jedna podzielna przez 4, druga zaś jest podzielna przez 2, zatem liczba (p+1)(p-1) jest podzielna przez 8:

(p+1)(p-1)=8t ,gdzie t∈C

8t-16=8(t-2)

t-2=k

(t-2)∈C

Więc liczba p²-17 jest podzielna przez 8.