Question

Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą i liczba nie jest podzielna przez trzy to

Proszę o pełne wytłumaczenie,krok po kroku

Answer 1

zał.:

p jest pierwsza i p²-4≠3k ,gdzie k∈C

teza:

p=3

dowód:

W tym zadaniu wystarczy pokazać, że żadna liczba pierwsza oprócz 3 nie spełnia założenia:

p²-4=p²-1-3=(p+1)(p-1)-3

Zauważmy najpierw, że dla p=2, liczba (p+1)(p-1)-3 jest równa 0, zatem jest podzielna przez 3. p nie może więc być równe 2.

Przeanalizujmy teraz liczby pierwsze, takie, że p≥5:

Wiadomo, że wśród 3 kolejnych liczb całkowitych jedna jest podzielna przez 3. (p-1), p, (p+1) to 3 kolejne liczby całokowite, jednak przez 3 nie jest podzielna liczba p, gdyż jest ona pierwsza i większa lub równa 5. Zatem przez 3 jest podzielna jedna z liczb (p-1), (p+1):

(p+1)(p-1)=3t ,gdzie t∈C

3t-3=3(t-1)

t-1=k

(t-1)∈C

Dla każdej liczby pierwszej większej lub równej 5, liczba p²-4 jest podzielna przez 3.

Więc liczba 2 oraz liczby pierwsze większe lub równe 5 nie spełniają założenia, a dla p=3 wartość wyrażenia (p+1)(p-1)-3 wynosi 5. 5 nie jest liczbą podzielną przez 3, zatem p=3.