Question

Wykaż, że jeżeli x jest liczbą całkowitą nieparzystą, to x⁶-x⁴-x²+1 jest podzielne przez 32

Answer 1

1.x jest liczbą całkowitą nieparzystą, czyli możemy ją 
zapisać x = 2n+ 1 {gdzie n∈C, n należy do całkowitych}
dana jest liczba x⁶ - x⁴ - x² + 1 
można ją zapisać w postaci iloczynowej
x⁴(x²- 1) - (x²- 1) = (x⁴- 1)(x²- 1)=
(x²- 1)(x² + 1)(x²- 1)=
(x- 1)(x+ 1)(x- 1)(x+ 1)(x²+ 1)=
(x-1)(x-1)(x+1)(x+1)(x²+1)=
{teraz za x wstawiamy 2n+1}
(2n+1-1)(2n+1-1)(2n+1+1)(2n+1+1)[(2n+1)²+1]=
2n*2n*(2n+2)(2n+2)[4n²+4n+1+1]=
2n*2n*2(n+1)*2(n+1)*[4n²+4n+2]=
16*n*n*(n+1)(n+1)*2*(2n²+2n+1)=
32*n²*(n+1)²*(2n²+2n+1)
jeden z czynników liczby x⁶ - x⁴ - x² + 1 to liczba 32, więc nasza
liczba jest podzielna przez 32.
Odp. Jeśli x jest liczbą całkowitą nieparzystą, to
liczba postaci x⁶ - x⁴ - x² + 1 jest podzielna przez 32.

Answer 2

x^6 - x^4 - x^2 + 1 = x^4 *( x^2 - 1) - ( x^2 - 1) =

= (x^2 - 1)*( x^4 - 1) = (x -1)*(x + 1)*( x^2 - 1)*(x^2 + 1) =

= (x -1)*(x+1)*(x-1)*(x +1)*( x^2 + 1)

Jeżeli x jest liczbą całkowitą nieparzystą , to x- 1, x +1, x^2 + 1  są liczbami

parzystymi, a to oznacza, że z każdego z czynników można wyłączyć 2.

Mamy zatem

x^6 - x^4 - x^2 + 1 = 2*2*2*2*2* y = 32 *y   - czyli liczba podzielna przez 32.