Question

Wykaż że jeżeli wielomian W(x)= x3 +ax +b ma podwójny pierwiastek rzeczywisty, to 4a3+27 b2=0

Answer 1

(x-p)(x-q)^2 << jesli wielomian ma 1 pierw. dwukrotny to musi byc 1 do kwadratu

to jest ten wielomian czyli

x3+ax+b=(x-p)(x2-2xq+q2)

x3+ax+b=x3-2x2q+xq2-px2+2xqp-q2p

ax+b=-2x2q+xq2-px2+2xqp-q2p

ax+b=x2(-2q-p)+x(q2+2pq) -pq2

-2q-p=0 => p=-2q [podstawiam]

a=q2+2qp i b=-pq2;

a=q2-4q2; a=-3q2 i b=2q3

4a3=-27b2

4*(-3q2)3=-27*(2q3)2

4*(-27q6)=-27*4q6