Question

Wykaż, że jeżeli a, b ∈ W i a<b, to istnieje taka liczba c ∈ W, że a<c<b.

Answer 1

Wykaż, że jeżeli a, b ∈ W i a<b, to istnieje taka liczba c ∈ W, że a<c<b.

Niech a = m/n i b = k/l, gdzie liczby m,n,k,l sa liczbami całkowitymi, a n i l są dodatkowo większe od zera.
Sprowadźmy te dwa ułamki do wspólnego mianownika, wtedy
a = m*l/(n*l) i b = k*n/(n*l) pomnóżmy liczniki i mianowniki przez 2

a = 2m*l/(2n*l) i b = 2k*n/(2n*l)
wtedy liczba c = ((2ml+2kn)/2)/(2nl) = (ml+kn)/(2nl) leży pomiędzy liczbami a i b, ponieważ ma taki sam mianownik, jak obie liczby, a licznik jest średnią arytmetyczną liczników liczb a i b jest liczbą wymierną.

Przykład:
a = 1/2 i b = 1/3
a = 1/2 = 3/6 = 6/12
b = 1/3 = 2/6 = 4/12
(6+4)/2 = 10/2 = 5
c wynosi 5/12