Question

Wykaż, że dla dowolnych liczb a,b,c,d należących do przedziału <0;1> prawdziwa jest nierówność

(a+b+c+d+3)²≥11(a²⁰⁰⁹+b²⁰⁰⁹+c²⁰⁰⁹+d²⁰⁰⁹)

Answer 1

Najpierw pokażemy, że:
(a+b+c+d+3)² ≥ 11(a+b+c+d)

Wstawmy x = a+b+c+d
Pozostaje nam pokazać, że
(x+3)² ≥ 11x
Czyli
x² + 6x + 9 ≥ 11x
x² - 5x + 9 ≥ 0
x² - 2*(5/2)*x + (25/4) + (11/4) ≥ 0
(x - 5/2)² + 11/4 ≥ 0
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, to po lewej stronie mamy kwadrat liczby rzeczywistej plus liczba dodatnia - to zawsze jest dodatnie

Czyli mamy już, że:
(x+3)² ≥ 11x (dla dowolnego x) - wstawiamy spowrotem za x wyrażenie: a+b+c+d

(a+b+c+d+3)² ≥ 11(a+b+c+d)


Teraz spostrzeżenie:
jeżeli x ∈<0,1> to:
x ≥ x²⁰⁰⁹

Zatem (ponieważ a, b, c i d ∈<0,1> ):
a + b + c + d ≥ a²⁰⁰⁹ + b²⁰⁰⁹ + c²⁰⁰⁹ + d²⁰⁰⁹

Czyli ostatecznie mamy:
(a+b+c+d+3)² ≥ 11(a+b+c+d) ≥ 11(a²⁰⁰⁹ + b²⁰⁰⁹ + c²⁰⁰⁹ + d²⁰⁰⁹)
co było do udowodnienia