Question

Wykaż, że √3 jest liczba niewymierna

Answer 1

√3=1,73205081...

Liczba √3 jest niewymierna, ponieważ ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne, nie można jej zapisać za pomocą ułamka zwykłego.

Answer 2

Dowód nie wprost:

Zakładamy, że liczba x = √3 jest wymierna, tzn że da się ją zapisać w postaci ułamka NIESKRACALNEGO x = p/q (p i q nie maja wspolnych dzielnikow)

Zatem:
x² = (√3)² = 3
(p/q)² = 3 => p²/q² = 3 => p² = 3q²

Zatem prawa strona jest podzielna przez 3 ponieważ da się ją zapisać w postaci iloczynu w ktorym jeden z czynników równa się 3.
Jeżeli prawa strona jest podzielna przez 3 to lewa też musi być.
Zatem p² = (3k)² ,k e N

=> p = 3k (p jest podzielne przez 3)

Z równania p² = 3q² wynika że (3k)² = 3q² => q² = 3k² = 3p² ( q podzielne przez 3)

JEst to sprzeczność z założeniem ponieważ na poczatku zalozylismy ze liczby p i q nie maja wpolnych dzielnikow. Zatem liczba √3 jest niewymierna.