Question

Wszystko o równaniach i nierównaniach, jak rozwiązywać, WSZYSTKO!

Answer 1

Rozwiązywanie równań wykładniczych
Przykładami równań wykładniczych mogą być: 3x = 27
\left(2\frac{1}{5}\right)^{x-2}=15
\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}x}=2^{x+2}
2^{2x}-5 \sdot 2^x-10=0

Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:

1. Ustalamy dziedzinę.
2. Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
3. Rozwiązujemy równanie.
4. Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
5. Podajemy odpowiedź.


Przykład 1

Chcemy rozwiązać równanie \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3} , możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę:

\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=16^{x+3},~D=\mathbb{R}

2. Sprowadzamy do tej samej podstawy:
3. \begin{align} (4^{-1})^{\frac{1}{2}x-1}&=(4^2)^{x+3}\\ 4^{-\frac{1}{2}x+1}&=4^{2x+6} \end{align}
4. Z równości potęg wynika równość wykładników:
5. \begin{align} -\frac{1}{2}x+1&=2x+6\\ -2\frac{1}{2}x&=5\quad\Big/:(-2\frac{1}{2})\\ x&=-2,~\in D \end{align}
6. Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
7. Możemy sprawdzić rozwiązanie:
8. L=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}x-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}(-2)-1}= \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=16

P=16^{x+3}=16^{-2+3}=16 \
Zatem L=P \

Przykład 2

Jeśli chcemy rozwiązać równanie 2^x+2^{7-x}=24 \!, możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:
2. 2^x+2^{7-x}=24 ,~D=\mathbb{R}
3. 2^x+\frac{2^7}{2^x}=24
4. Podstawiamy 2^x=t, t \in \mathbb{R}_+
5. t+\frac{128}{t}=24 / \sdot t
6. t^2-24t+128=0 \
7. Otrzymujemy:
8. t_1=8=2^3,~\in \mathbb{R}_+
9. t_2=16=2^4,~\in \mathbb{R}_+
10. Ponieważ 2^x=t \ :
11. 2^x=t_1\ lub 2^x=t_2\
12. 2^x=2^3\ lub 2^x=2^4\
13. x=3\ lub x=4\
14. Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych
Przykładami nierówności wykładniczych są: 2^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{2-x\frac{1}{2}} 3^{x^2-2}<3\sqrt{3} \left(\frac{1}{9}\right)^x>3^{4-\frac{1}{2}x}

W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:

1. Ustalić dziedzinę
2. Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
3. Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:

dla a \in (1;+\infty)

a^n>a^m \iff n>m
a^n<a^m \iff n<m
analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”

dla a \in (0;1)

a^n>a^m \iff n<m
a^n<a^m \iff n>m
analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”

4. Rozwiązujemy otrzymane równanie.
5. Udzielamy odpowiedzi.

Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie 2^{2x-1} \geq 2^{3-x} , możemy je przekształcić na równanie 2x-1 > 3-x\ , ponieważ a=2 \in (1;+\infty) . Natomiast \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1} > \left(\frac{1}{2}\right)^{3-x} \iff 2x-1 < 3-x, ponieważ a=\frac{1}{2} \in (0;1) .


Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność \left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1} . W tym celu:

1. Ustalamy dziedzinę:

\left(\frac{1}{4}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1},~D=\mathbb{R} \backslash \{-1\}

2. Sprowadzamy do tych samych podstaw:

\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^x>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1}
\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}>\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2x}{x+1}

3. Ponieważ a=\frac{1}{2} , wykorzystujemy prawo a^n>a^m \iff n<m :

2x<\frac{2x}{x+1}

4. Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:

2x-\frac{2x}{x+1}<0
\frac{2x^2}{x+1}<0

5. Z własności \frac{a}{b}<0 \iff ab<0 , wynika że:

2x^2(x+1)<0 \Rightarrow x_1=0 , krotność 2 i x_2=-1 \! o krotności 1.
Matematyka dla liceum-nierwyk-wykr1.png

6. Czyli x \in (-\infty;-1)