Wszystko na temat:Dzielenia wielomianów.Wszystko po kolei co dzielimy przez co itd :)Wraz z kilkoma .... Question from @Damato

Damato @Damato

October 2018 1 72 Report

Wszystko na temat:

Dzielenia wielomianów.

Wszystko po kolei co dzielimy przez co itd :)

Wraz z kilkoma przykładami.

Roma

Jeżeli W(x) i P(x) są danymi wielomianami i jeżeli istnieje dokładnie jeden taki wielomian Q(x), że prawdziwa jest równość W(x) = Q(x) · P(x), to wielomian Q(x) nazywamy ilorazem wielomianu W(x) przez wielomian P(x), a wielomian P(x) nazywamy dzielnikiem wielomianu W(x).

Dla wielomianów określa się również dzielenie z resztą.

Tw. o dzieleniu wielomianów

Jeśli W(x) i P(x) są wielomianami oraz P(x) nie jest wielomianem zerowym [P(x) ≠ 0], to istnieją takie dwa wielomiany Q(x) i R(x), że W(x) = P(x) · Q(x) + R(x), gdzie R(x) = 0 lub stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x) [st.R(x) < st.P(x)].

Wielomian R(x) nazywamy resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x).

Jeśli reszta R(x) jest wielomianem zerowym, to mówimy, że wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x).

Tw. o reszcie
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - a) jaest równa W(a)

DZIELENIE SPOSOBEM PISEMNYM

Dzielenie wielomianów wykonuje się podobnie do dzielenia liczb całkowitych.

Najlepiej to pokazać na przykładach.

1) Wykonaj dzielenie wielomianów: $(2x^3 - 9x^2 + 13x - 12) \ : \ (x - 3)$

Zatem wielomian (2x³ - 9x² + 13x - 12)to dzielna, a dwumian (x - 3) to dzielnik

$(2x^3 - 9x^2 + 13x - 12) \ : \ (x - 3) =$

Dzielimy pierwszy wyraz dzielnej (2x³) przez pierwszy wyraz dzielnika (x), czyli 2x³ : x = 2x²; otrzymujemy jednomian (2x²) i wpisujemy go po znaku równości

$(2x^3 - 9x^2 + 13x - 12) \ : \ (x - 3) = 2x^2$

Otrzymany jednomian (2x²) mnożymy przez dzielnik (x - 3), czyli 2x² · (x - 3) = 2x³ - 6x² i wynik odejmujemy od dzielnej: (2x³ - 9x² + 13x - 12) - (2x³ - 6x²) = 2x³ - 9x² + 13x - 12 - 2x³ + 6x² = - 3x² + 13x - 12. Otrzymaliśmy pierwszą resztę R₁ = - 3x² + 13x - 12

$(2x^3 - 9x^2 + 13x - 12) \ : \ (x - 3) = 2x^2\\ -2x^3 + 6x^2\\ ------\\ R_1: \ ... - 3x^2 + 13x - 12$

Pierwszy wyraz pierwszej reszty R₁ (- 3x²) dzielimy przez pierwszy wyraz dzielnika (x), czyli - 3x² : x = - 3x i wpisujemy go po znaku równości

$(2x^3 - 9x^2 + 13x - 12) \ : \ (x - 3) = 2x^2 - 3x$

Otrzymany jednomian (-3x) mnożymy przez dzielnik (x - 3), czyli - 3x · (x - 3) = - 3x² + 9x i wynik odejmujemy od pierwszej reszty R₁: (- 3x² + 13x - 12) - (- 3x² + 9x) = - 3x² + 13x - 12+ 3x² - 9x = 4x - 12. Otrzymaliśmy drugą resztę R₂ = 4x - 12

$(2x^3 - 9x^2 + 13x - 12) \ : \ (x - 3) = 2x^2-3x\\ -2x^3 + 6x^2\\ ------\\ R_1: \ ... - 3x^2 + 13x - 12\\ ............ +3x^2 - 9x\\ ---------\\ R_2: \ .............. \ 4x - 12$

Pierwszy wyraz drugiej reszty R₂ (4x) dzielimy przez pierwszy wyraz dzielnika (x), czyli 4x : x = 4 i wpisujemy go po znaku równości

$(2x^3 - 9x^2 + 13x - 12) \ : \ (x - 3) = 2x^2 - 3x + 4$

Otrzymany jednomian (4) mnożymy przez dzielnik (x - 3), czyli 4 · (x - 3) = 4x - 12 i wynik odejmujemy od drugiej reszty R₂: (4x - 12) - (4x - 12) = 4x - 12 -4x + 12 = 0. Otrzymaliśmy trzecią resztę R₃ = 0

$(2x^3 - 9x^2 + 13x - 12) \ : \ (x - 3) = 2x^2-3x+4\\ -2x^3 + 6x^2\\ ------\\ R_1: \ ... - 3x^2 + 13x - 12\\ ............ +3x^2 - 9x\\ ---------\\ R_2: \ .............. \ 4x - 12\\ ...................... \ - 4x + 12\\ ------------\\ R_3: \ ............................. \ 0$

Zatem:

$(2x^3 - 9x^2 + 13x - 12) \ : \ (x - 3) = 2x^2-3x+4$

czyli

$2x^3 - 9x^2 + 13x - 12 = (x - 3) (2x^2-3x+4)$

Zapis dzielenia:

(2x³ - 9x² + 13x - 12) : ( x - 3) = 2x² - 3x + 4

- 2x³ + 6x²

_________

- 3x² + 13x - 12

+ 3x² - 9x

_________

4x - 12

- 4x + 12

_________

R = 0

2) Wykonaj dzielenie wielomianów: $(x^4 + 1) \ : \ (x + 1)$

$(x^4 + 1) \ : \ (x + 1) = x^3 - x^2 + x - 1\\ -x^4-x^3\\ ----\\ R_1: \ ..-x^3 + 1\\ ............ + x^3+x^2\\ --------\\ R_2: \ ............... \ x^2 + 1\\ ...................\ - x^2 - x\\ ----------\\ R_3: \ ................... \ - x + 1\\ ............................ \ + x + 1\\ ------------\\ R_4: \ ............................... \ 2$

W tym przykładzie reszta z dzielenia wynosi 2, zatem

$x^4 + 1 = (x + 1) (x^3 - x^2 + x - 1) + 2$

Zapis dzielenia:

(x⁴ + 1) : (x + 1) = x³ - x² + x - 1

- x⁴ - x³

_______

- x³ + 1

x³ + x²

________

x² + 1

- x² - x

________

- x + 1

x + 1

_______

R = 2

Dzieląc wielomian W(x) przez P(x) postępuj według następującego schematu:

- uporządkuj wielomiany W(x) i P(x), czyli zapisz ich wyrazy w kolejności od największej do najmniejszej potęgi zmiennej,

- podzieli pierwszy wyraz dzielnej W(x) przez pierwszy wyraz dzielnika P(x),
- otrzymany jednomian pomnóż przez dzielnik P(x), a wynik odejmij od dzielnej W(x) i otrzymasz resztę R₁,

- pierwszy wyraz reszty R₁ podziel przez pierwszy wyraz dzielnika P(x),

- otrzymany jednomian pomnoż przez dzielnik P(x), a wynik odejmij od reszty R₁ o otrzymasz resztę R₂,

- postępuj dalej tak jak przy reszcie R₁ tak długo aż otrzymasz resztę równą zero lub resztę, której stopień bedzie niższy od stopnia dzielnika P(x).

SCHEMAT HORNERA

Jeśli wykonujemy dzielenie wielomianu przez dwumian, wtedy można skorzystać ze schematu Hornera

Dzielenie za pomocą schematu Hornera:

- utwórz tabelkę składającą się z trzech wierszy oraz liczbą kolumn równą sumie stopnia wielomianu i liczbie 2,

- w górnym wierszu, zaczynając od drugiej kolumny, wypisz wszystkie (również zerowe) współczynniki dzielnej łącznie z ich znakami,

- w drugim wierszu w pierwszej kolumnie liczbę odjętą od x w dzielniku,

- w trzecim wierszu w drugiej kolumnie przepisz współczynnik znajdujący się w pierwszym wierszu w drugiej kolumnie

Mając tak przygotowaną tabelkę możemy ją uzupełnić.

Jednak nalepiej wytłumaczyć jest to na przykładzie:

1) Wykonaj dzielenie:

$- 2x^3 + 3x^2 + 9x - 10 \ : \ (x - 1) =$

Tworzymy tabelkę, która będzie miała 3 wiersze i 5 kolumn, bo 3 + 2 = 5:

- do pierwszego wiersza, zaczynając od drugiej kolumny, wpisujemy współczynniki: - 2; + 3; + 9; - 10

- do drugiego wiersza w pierwszej kolumnie wpiszemy: + 1 (bo odejmujemy liczbę 1)

- do trzeciego wiersza w drugiej kolumnie wpisujemy: - 2

$\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|} \hline & -2 & +3 & +9 &-10 \\ \hline + 1 & & & & \\ \hline & -2 & & & \\ \hline \end{tabular}$

Uzupełniamy tabelkę:

- wyznaczmy liczbę, którą wpiszemy w drugim wierszu w trzeciej kolumnie: mnożymy liczbę z drugiego wiersza w pierwszej kolumny (+ 1) przez liczbę z trzeciego wiersza w drugiej kolumnie, czyli przez (- 2). Zatem (+ 1) · (- 2) = - 2 i wpisujemy tam (- 2)

$\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|} \hline & -2 & +3 & +9 &-10 \\ \hline + 1 & &-2 & & \\ \hline & -2 & & & \\ \hline \end{tabular}$

- wyznaczmy liczbę, którą wpiszemy w trzecim wierszu w trzeciej kolumnie: dodajemy do współczynnika z pierwszego wiersza trzeciej kolumny (+ 3) liczbę z drugiego wiersza trzeciej kolumny, czyli wpiasaną tam (- 2). Zatem (+ 3) + (- 2) = + 1 i wpisujemy tam (+ 1)

$\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|} \hline & -2 & +3 & +9 &-10 \\ \hline + 1 & &-2 & & \\ \hline & -2 &+1 & & \\ \hline \end{tabular}$

- wyznaczmy liczbę, którą wpiszemy w drugim wierszu czwartej kolumnie: mnożymy liczbę z drugiego wiersza w pierwszej kolumny (+ 1) przez liczbę z trzeciego wiersza w trzeciej kolumnie, czyli przez (+ 1). Zatem (+ 1) · (+ 1) = + 1 i wpisujemy tam (+ 1)

$\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|} \hline & -2 & +3 & +9 &-10 \\ \hline + 1 & &-2 &+1 & \\ \hline & -2 &+1 & & \\ \hline \end{tabular}$

- wyznaczmy liczbę, którą wpiszemy w trzecim wierszu w czwartej kolumnie: dodajemy do współczynnika z pierwszego wiersza czwartej kolumny (+ 9) liczbę z drugiego wiersza czwartej kolumny, czyli wpiasaną tam (+ 1). Zatem (+ 9) + (+ 1) = + 10 i wpisujemy tam (+ 10)

$\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|} \hline & -2 & +3 & +9 &-10 \\ \hline + 1 & &-2 &+1 & \\ \hline & -2 &+1 & +10& \\ \hline \end{tabular}$

- wyznaczmy liczbę, którą wpiszemy w drugim wierszu w piatej kolumnie: mnożymy liczbę z drugiego wiersza w pierwszej kolumny (+ 1) przez liczbę z trzeciego wiersza w czawrtej kolumnie, czyli przez (+ 10). Zatem (+ 1) · (+ 10) = + 10 i wpisujemy tam (+ 10)

$\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|} \hline & -2 & +3 & +9 &-10 \\ \hline + 1 & &-2 &+1 &+ 10 \\ \hline & -2 &+1 & +10& \\ \hline \end{tabular}$

- wyznaczmy liczbę, którą wpiszemy w trzecim wierszu w piątej kolumnie: dodajemy do współczynnika z pierwszego wiersza piątej kolumny (- 10) liczbę z drugiego wiersza piatej kolumny, czyli wpiasaną tam (+ 10). Zatem (- 10) + (+ 10) = 0 i wpisujemy tam (0)

$\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|} \hline & -2 & +3 & +9 &-10 \\ \hline + 1 & &-2 &+1 &+ 10 \\ \hline & -2 &+1 & +10& 0 \\ \hline \end{tabular}$

Elementy trzeciego wiersza są współczynnikami wielomianu będącego ilorazem wielomanów, którego stopień jest o 1 niższy od stopnia dzielnej. Ostatnia liczba z tego wiersza jest resztą z dzielenia. Zatem możemy zapisać:

$= -2x^2 +x + 10$ , a reszta z dzielenia jest równa zero, czyli

$- 2x^3 + 3x^2 + 9x - 10 \ : \ (x - 1) = -2x^2 +x + 10$

2) Wykonaj dzielenie:

$x^3 - 4x^2 + x + 6 \ : \ (x + 1) =\\ \\ \begin{tabular}{|r|c|c|c|c|} \hline & +1 & -4 & +1 &+6\\ \hline -1 & & -1 & 5 & -6 \\ \hline & +1 & -5 & +6 & 0 \\ \hline \end{tabular}\\ \\ = x^2 - 5x + 6$