Witam,Mam na jutro zadania do rozwiązania z równań i nierówności:1. Rozwiąż nierówność 2. Rozwiąż ró.... Question from @KzS

KzS @KzS

October 2018 1 17 Report

Witam,

Mam na jutro zadania do rozwiązania z równań i nierówności:

1. Rozwiąż nierówność $x^{2} - 8x +7 \geq 0$

2. Rozwiąż równanie $x^{3} -6x^{2}-9x+54 = 0$

3. Rozwiąż nierówność $x^{2} -3x -10 < 0$

4. Rozwiąż równanie $3x^{3}+x^{2} - 5=15x$

5. Rozwiąż nierówność $x^{2}+8x+15>0$

6. Rozwiąż nierówność $2x^{2}+10x+3<0$

7. Rozwiąż nierówność $x^{2}+3x+2>0$

8. Rozwiąż równanie $x^{3}-4x^{2}+4x+1=(x-1)^{2}$

9. Rozwiąż równanie $x^{3}-2x^{2}=x^{2}-4$

10. Rozwiąż nierówność $3x^{2}-10x+3\leq0$

11. Rozwiąż równanie $x^{3}-5x^{2}-3x+15=0$

12. Rozwiąż równanie x $x^{4}-3x^{2}=3-x^{2}$

13. Rozwiąż równanie $x^{3}-8=6x^{2}-12x$

14. Rozwiąż nierówność $x^{2}-x-2\leq0$

15. Rozwiąż równanie $x^{3}-7x^{2}-4x+28=0$

Roma

$x^2 - 8x +7 \geq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe

$x^2 - 8x +7 =0$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{36} =6$

$x_1=\frac{8 -6}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2=\frac{8 +6}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

Rysujemy wykres (zaznaczamy miejsca zerowe 1 i 7, ramiona paraboli w górę, bo a = 1 > 0) i odczytujemy rozwiązanie nierówności (zbiór tych argumentów x, dla których wartości są większe lub równe zero - czyli zbiór pierwszych współrzędnych punktów paraboli leżących na i nad osią OX):

$x \in (-\infty; \ 1 \rangle \cup \langle7; \ + \infty)$

Odp. x ∈ (-∞; 1> u <7; + ∞)

$x^3 -6x^2-9x+54 = 0$

$x^2 \cdot (x -6)-9 \cdot (x-6)= 0$

$(x -6)(x^2 -9)= 0$

$(x -6)(x-3)(x +3)= 0$

$x -6 = 0 \ lub \ x-3 = 0 \ lub \ x +3 = 0$

$x -6 = 0$

$x = 6$

$x -3 = 0$

$x = 3$

$x + 3 = 0$

$x = - 3$

Odp. x = - 3 lub x = 3 lub x = 6

$x^2 -3x -10 < 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe

$x^2 -3x -10 =0$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} =7$

$x_1=\frac{3 -7}{2 \cdot 1} = \frac{- 4}{2} = - 2$

$x_2=\frac{3+7}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$

Rysujemy wykres (zaznaczamy miejsca zerowe - 2 i 5, ramiona paraboli w górę, bo a = 1 > 0) i odczytujemy rozwiązanie nierówności (zbiór tych argumentów x, dla których wartości są mniejsze od zera - czyli zbiór pierwszych współrzędnych punktów paraboli leżących pod osią OX):

$x \in (-2; \ 5)$

Odp. x ∈ (- 2; 5)

$3x^3+x^2 - 5=15x$

$3x^3+x^2 -15x - 5=0$

$x^2 \cdot (3x+1) -5 \cdot (2x+ 1)=0$

$(3x+1)(x^2 -5)=0$

$(3x+1)(x -\sqrt{5})(x + \sqrt{5})=0$

$3x+1 = 0 \ lub \ x -\sqrt{5} \ lub \ x + \sqrt{5}=0$

$3x+1 = 0$

$3x = - 1 \ /: 3$

$x = -\frac{1}{3}$

$x -\sqrt{5} = 0$

$x =\sqrt{5}$

$x + \sqrt{5}=0$

$x = - \sqrt{5}$

Odp. x = - √5 lub x = -⅓ lub x = √5

$x^2+8x+15>0$

Wyznaczamy miejsca zerowe

$x^2+8x+15 =0$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{4} =2$

$x_1=\frac{-8 -2}{2 \cdot 1} = \frac{- 10}{2} = - 5$

$x_2=\frac{-8+2}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Rysujemy wykres (zaznaczamy miejsca zerowe - 5 i - 3, ramiona paraboli w górę, bo a = 1 > 0) i odczytujemy rozwiązanie nierówności (zbiór tych argumentów x, dla których wartości są większe od zera - czyli zbiór pierwszych współrzędnych punktów paraboli leżących nad osią OX):

$x \in (-\infty; \ -5) \cup (-3; \ + \infty)$

Odp. x ∈ (-∞; - 5) u <(- 3; + ∞)

$2x^2+10x+3<0$

Wyznaczamy miejsca zerowe

$2x^2+10x+3 =0$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{76} =\sqrt{4 \cdot 19}=2\sqrt{19}$

$x_1=\frac{-10 -2\sqrt{19}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \cdot (-5 -\sqrt{19})}{4} = \frac{-5 -\sqrt{19}}{2}\approx - 4,68$

$x_2=\frac{-10 +2\sqrt{19}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \cdot (-5 +\sqrt{19})}{4} = \frac{-5 +\sqrt{19}}{2} \approx -0,32$

Rysujemy wykres (zaznaczamy miejsca zerowe na osi, ramiona paraboli w górę, bo a = 2 > 0) i odczytujemy rozwiązanie nierówności (zbiór tych argumentów x, dla których wartości są mniejsze od zera - czyli zbiór pierwszych współrzędnych punktów paraboli leżących pod osią OX):

$x \in (\frac{-5 -\sqrt{19}}{2}; \ \frac{-5 +\sqrt{19}}{2})$

Odp. $x \in (\frac{-5 -\sqrt{19}}{2}; \ \frac{-5 +\sqrt{19}}{2})$

$x^2+3x+2>0$

Wyznaczamy miejsca zerowe

$x^2+3x+2 =0$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{1} =1$

$x_1=\frac{-3 -1}{2 \cdot 1} = \frac{- 4}{2} = - 2$

$x_2=\frac{-3+1}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = - 1$

Rysujemy wykres (zaznaczamy miejsca zerowe - 2 i - 1, ramiona paraboli w górę, bo a = 1 > 0) i odczytujemy rozwiązanie nierówności (zbiór tych argumentów x, dla których wartości są większe od zera - czyli zbiór pierwszych współrzędnych punktów paraboli leżących nad osią OX):

$x \in (-\infty; \ -2) \cup (-1; \ + \infty)$

Odp. x ∈ (-∞; - 2) u <(- 1; + ∞)

$x^3-4x^2+4x+1=(x-1)^2$

$x^3-4x^2+4x+1= x^2 - 2x + 1$

$x^3-4x^2+4x+1- x^2 + 2x - 1=0$

$x^3-5x^2+6x= 0$

$x \cdot (x^2-5x+6)= 0$

$x = 0 \ lub x^2-5x+6= 0$

$x = 0$

$x^2-5x+6= 0$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{1} =1$

$x_1=\frac{5 -1}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2=\frac{5+1}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Odp. x = 0 lub x = 2 lub x = 3

$x^3-2x^2=x^2-4$

$x^3-2x^2-x^2+4 = 0$

$x^3-3x^2+4=0$

$x^3-2x^2 - x^2+4=0$

$x^2 \cdot (x - 2) - (x^2 - 4)=0$

$x^2 \cdot (x - 2) - (x - 2)(x + 2)=0$

$(x - 2)[x^2 - (x + 2)]=0$

$(x - 2)(x^2 - x - 2)=0$

$x - 2 = 0 \ lub \ x^2 - x - 2 =0$

$x - 2 = 0$

$x = 2$

$x^2 - x - 2 =0$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{9} =3$

$x_1=\frac{1 -3}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = - 1$

$x_2=\frac{1+3}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Odp. x = - 1 lub x = 2

10.

$3x^2-10x+3 \leq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe

$3x^2-10x+3 =0$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{64} =8$

$x_1=\frac{10 -8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2=\frac{10+8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

Rysujemy wykres (zaznaczamy miejsca zerowe ⅓ i 3, ramiona paraboli w górę, bo a = 3 > 0) i odczytujemy rozwiązanie nierówności (zbiór tych argumentów x, dla których wartości są mniejsze lub równe zero - czyli zbiór pierwszych współrzędnych punktów paraboli leżących na i pod osią OX):

$x \in \langle \frac{1}{3}; \ 3 \rangle$

Odp. x ∈ <⅓; 3>

11.

$x^3-5x^2-3x+15=0$

$x^2 \cdot (x-5)-3 \cdot(x-5)=0$

$(x-5)(x^2 -3)=0$

$(x-5)(x -\sqrt{3})(x +\sqrt{3}) =0$

$x-5 = 0 \ lub \ x -\sqrt{3} = 0 \ lub \ x +\sqrt{3} =0$

$x-5 =0$

$x = 5$

$x -\sqrt{3}=0$

$x = \sqrt{3}$

$x +\sqrt{3} =0$

$x = -\sqrt{3}$

Odp. x = - √3 lub x = √3 lub x = 5

12.

$x^4-3x^2=3-x^2$

$x^4-3x^2-3+x^2 = 0$

$x^4-2x^2 - 3 = 0$

Wprowadzamy zmienną pomocniczą: $t = x^2$

$t^2-2t - 3 = 0$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{16} =4$

$t_1=\frac{2 -4}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{62} = - 1$

$t_2=\frac{2+4}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$t = x^2 \wedge t = -1$

$x^2= -1$ równanie nie ma rozwiązań

$t = x^2 \wedge t = 3$

$x^2= 3$

$x = \sqrt{3} \vee x = -\sqrt{3}$

Odp. x = - √3 lub x = √3

13.

$x^3-8=6x^2-12x$

$x^3-6x^2+12x-8 = 0$

------------------------------------

Na podstawie wzoru skróconego mnożenia: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

x³ - 6x² + 12x - 8 = x³ - 3·x²·2 + 3·x·2 - 2³ = (x - 2)³

------------------------------------

$(x - 2)^3 = 0$

$x - 2 = 0$

$x = 2$

odp. x = 2

14.

$x^2-x-2 \leq 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe

$x^2-x-2 =0$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{9} =3$

$x_1=\frac{1 -3}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2=\frac{1+3}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Rysujemy wykres (zaznaczamy miejsca zerowe - 1 i 2, ramiona paraboli w górę, bo a = 1 > 0) i odczytujemy rozwiązanie nierówności (zbiór tych argumentów x, dla których wartości są mniejsze lub równe zero - czyli zbiór pierwszych współrzędnych punktów paraboli leżących na i pod osią OX):

$x \in \langle -1; \ 2 \rangle$