Rozwiąż 3 równania i 3 nierówności:Nierówność Równania.... Question from @KzS

KzS @KzS

October 2018 1 22 Report

Rozwiąż 3 równania i 3 nierówności:

Nierówność

$\frac{x^{2}+x+2}{{x^{2}-x-2}}>0$

$\frac{x^{2}-4}{{x^{2}-5x}}>0$

$\frac{x^{2}-2x}{{x^{2}-1}}<0$

Równania

$\frac{2x-3}{{x-1}}+1=\frac{6x-x^{2}-6}{{x-1}}$

$\frac{2x+1}{{x}}+\frac{4x}{{2x+1}}=5$

$\frac{2}{{x^{2}+x}}-\frac{1}{{x^{2}}}=\frac{1}{6x}$

mutopompka

W rozwiązaniach nierówności podałem przedziały. Podałem także miejsca zerowe, które posłużyły do określenia znaków każdego z przedziałów. A robi się to w ten sposób, iż wybiera się jakąkolwiek liczbę (należącą do dziedziny oczywiście) z przedziału i określa się znak w danym przedziale nierówności, np:

x(x-2)(x+1)(x-1)>0

mamy teraz przedziały: (-∞; -1); (-1; 0); (0;1); (1;2); (2;+∞)

Teraz wybieramy liczbę z każdego przedziału i określamy znak, np -3 i wstawiając za "x" określamy nei wartość, ale ZNAK. Czy cały po wymnożeniu będzie + czy -. Wtedy wiemy, że w przedziale (-∞; -1) będzie -, to znaczy, że wartości będą ujemne. Potem wybieramy dowolną liczbę z drugiego przedziału (-1; 0) i ponownie wstawiamy za "x" i po wymnażaniu określamy znak wymnożonej wartości. I tak dla każdego przedziału. Następnie, jako rozwiązanie podajemy tylko te przedziały, jakie mamy w podstawowej nierówności.

$\frac{x^{2}+x+2}{{x^{2}-x-2}}>0 \ \ \ \ D:x\in R /\{-1;2\} \\ \\ x^2-x-2\\ a=1;\ b=-1;\ c=-2\\ \Delta=1-4\cdot(-2)=1+8=9\\ \sqrt\Delta=3\\ x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1\\ x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2\\ x^2-x-2=(x+1)(x-2)\\ \\ x^2+x+2\\ a=1; b=1;\ c=2\\ \Delta=1-4\cdot(2)=1-8=-7\\ Mozemy\ zapisac:\\ (x^{2}+x+2)(x^{2}-x-2)>0\\ \\ (x^2+x+2)(x+1)(x-2)>0\\ x^2+x+2 - zawsze\ dodatnie\ (delta\ ujemna)\\ x=-1 - miejsce\ zerowe\\ x=2 - miejsce\ zerowe\\ \\$

$> <img src=$

$\frac{x^{2}-2x}{{x^{2}-1}}<0\ \ \ D: x\in R /\{-1;1\}\\ x(x-2)(x-1)(x+1)<0\\ \\\underline{Rozwiazanie: x \in (-1;0)\cup(1;2)}$

$\frac{2x-3}{{x-1}}+1=\frac{6x-x^{2}-6}{{x-1}}\ \ \ D:x \in R/ \{1\}\\ \frac{2x-3}{{x-1}}+\frac{x-1}{x-1}=\frac{6x-x^{2}-6}{{x-1}}\\ \frac{3x-4}{{x-1}}=\frac{6x-x^{2}-6}{{x-1}}\\ \frac{3x-4}{{x-1}}-\frac{6x-x^{2}-6}{{x-1}}=0\\ \frac{x^2-3x+2}{{x-1}}=0\\ \\ rownanie\ bedzie\ "zerem"\, gdy\ licznik\ bedzie\ "zerem":\\ x^2-3x+2=0\\ a=1;\ b=-3;\ c=2\\ \Delta=b^2-4ac=9-4\cdot1\cdot2=9-8=1\\ \sqrt\Delta=1\\ x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3-1}{2}=\frac22=1\\x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3+1}{2}=\frac42=2$

$Jak\widac\ x_1 \notin D, wiec\ jako\ rozwiazanie\ odpada.\\ \underline{Rozwiazaniem\ rownania\ jest\ liczba\ x_2=2}$

$\frac{2x+1}{{x}}+\frac{4x}{{2x+1}}=5\ \ \ D: x\in R/ \{0;-\frac12\}\\ \frac{(2x+1)(2x+1)}{{x(2x+1)}}+\frac{x\cdot4x}{{x(2x+1)}}-\frac{5(x(2x+1))}{x(2x+1)}=0\\ \frac{4x^2+4x+1}{{x(2x+1)}}+\frac{4x^2}{{x(2x+1)}}-\frac{10x^2+5x)}{x(2x+1)}=0\\ \frac{-2x^2-x+1}{{x(2x+1)}}=0\\ -2x^2-x+1=0\\ a=-2;\ b=-1;\ c=1\\ \Delta=b^2-4ac=1-(-2)\cdot1=1+8=9\\ \sqrt\Delta=3\\ x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-2}{-4}=\frac12\\ x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{4}{-4}=-1\\$