Question

Witam. Proszę o dokładne rozwiązanie zadania z wytłumaczeniem, daję naj
Okrąg o środku S = (3,2) leży wewnątrz okręgu o równaniu (x − 6)^2+ (y − 8)^2= 100 i jest do niego styczny. Wyznacz równanie prostej stycznej do obu tych okręgów.

Answer 1

Musimy określić równanie  okręgu  o  środku S = (3,2)
środek  zewnętrznego okręgu, określmy go literą Z, wyciągamy z  równania:
(x − 6)²+ (y − 8)²= 100
Z=(6,8)
odległość  między środkami , z twierdzenia pitagorasa :
|ZS|² = (6-3)² +(8-2)² = 9+36 = 45
|ZS| = 3√5
promień większego okręgu, oznaczmy go literą R, wyciągamy z równania :
(x − 6)²+ (y − 8)²= 100
R²= 100 ;    R= 10
promień mniejszego okręgu musi spełniać warunek :
r+|ZS|= R
stąd :    r = 10- 3√5

znając promień wewnętrznego okręgu i  współrzędne jego środka zapisujemy  jego równanie:

(x − 3)²+ (y − 2)²= (10- 3√5)²  * te równanie  nie będzie  uwzględniane w dalszej części obliczeń,  zostanie jednak użyte dla sporządzenia  szkicu

Punkt  styczności, okręslmy go  literą P,  znajdziemy  rozwiązując układ równań okręgu  zewnętrznego  i prostej (l) przechodzącej  przez   środki tych okręgów , znajdziemy dwa rozwiązania ale jeden punkt będzie należał  także do okręgu wewnętrznego
S = (3,2)
Z=(6,8)

Równanie prostej:

l:  ( 6-3 )(y-2)=(8-2)(x-3)
   3y-6=6x-18      / 3
   y-2=2x-6
   y=2x-4

równanie zewnętrznego  okręgu :

(x − 6)²+ (y − 8)²= 100

układ równań:

 y=2x-4
(x − 6)²+ (y − 8)²= 100

x²-12x+ 36 + y²- 16y + 64 = 100
 y=2x-4

x²-12x + y²- 16y  = 0
 y=2x-4

podstawiamy

x²-12x+ (2x-4)²- 16(2x-4)  = 0

x²-12x + 4x²-16x +16 - 32x+ 64=0

5x²-60x+80=0
x²-12x+16=0

Δ= 144-64=80
√Δ=4√5
x_1= (12-4√5)/2 =6-2√5 w przybliżeniu 1,5278640.
x_2= (12+4√5)/2 =6+2√5) w przybliżeniu 10,47214.

robimy  szkic  widzimy że x_2  nie należy do okręgu wewnętrznego,

liczymy  współrzędną y  punktu styczności

y= 2x -4  = 2(6-2√5)-4 = 12-4√5 -4 = 8-4√5 w przybliżeniu : -0,944272.

znamy  punkt  styczności wiemy że współczynnik kierunkowy  prostej stycznej  będzie przeciwny do odwrotności  współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej y=2x-4

stad  równanie  szukanej przez nas prostej  przybiera postać :

y= (-1/2)x + B

wartość wyrazu wolnego  obliczymy podstawiając punkt  styczności

8-4√5= -(6-2√5)/2 +B
8-4√5= -3+√5 +B
8-4√5+3-√5= B
B= 11-5√5  w przybliżeniu :  -0,18034

ostatecznie  szukana przez nas prosta przybiera postać :