Witam, potrzebuje rozwiązać równania i nierówności z funkcji wymiernej, troszke się w tym motam więc.... Question from @puma559

November 2018 1 16 Report

Witam, potrzebuje rozwiązać równania i nierówności z funkcji wymiernej, troszke się w tym motam więc prosze o pomoc. W załączniku zadania.

Fshrek

Zad. 1

$\frac{x-5}{x+1}-1 = x+1\\ \frac{x-5}{x+1} = x+1+1\\ \frac{x-5}{x+1} = x+2$

można to zapisać w innej postaci i zastosować proporcje:

$\frac{x-5}{x+1} = \frac{x+2}{1}\\ x - 5 = (x+1)(x+2)$

wymnażamy i rozwiązujemy:

$x - 5 = x^2 + x + 2x + 2\\ x^2 + x + 2x + 2 - x + 5 = 0\\ x^2 + 2x + 7 = 0$

Wyznaczamy deltę i miejsca zerowe:

$\Delta = b^2 - 4ac\\ \Delta = 2^2 - 4*1*7\\ \Delta = 4 - 28\\ \Delta = - 24$

Delta jest mniejsza od zera, nie ma rozwiązań

Zad. 2

$\frac{3}{x^2-4} = 1$

można to zapisać w innej postaci i zastosować proporcje:

$\frac{3}{x^2-4} = \frac{1}{1}\\ x^2 - 4 = 3\\ x^2 = 3+4\\ x^2 = 7$

Wyznaczamy x:

$x = \sqrt{7}\ lub\ x = -\sqrt{7}$

Zad. 3

$\frac{2}{x-3}+\frac{4x}{x+2} = \frac{1}{3}$

Przenosimy jeden z ułamków z lewej strony na prawą i sprowadzamy do wspólnego mianownika

$\frac{2}{x-3} = \frac{1}{3}-\frac{4x}{x+2}\\ \frac{2}{x-3} = \frac{1*(x+2)}{3*(x+2)}-\frac{4x*3}{(x+2)*3}\\ \frac{2}{x-3} = \frac{x+2}{3x+6}-\frac{12x}{3x+6}\\ \frac{2}{x-3} = \frac{x+2-12x}{3x+6}\\ \frac{2}{x-3} = \frac{-11x+2}{3x+6}$

ponownie stosujemy proporcję

$2(3x+6) = (x-3)(-11x+2)\\ 6x + 12 = -11x^2 + 2x + 33x - 6\\ 11x^2+6x-2x-33x+12+6=0\\ 11x^2 - 29x+18=0$

Wyznaczamy deltę i miejsca zerowe:

$\Delta = b^2 - 4ac\\ \Delta = (-29)^2 - 4*11*18\\ \Delta = 841 - 792\\ \Delta = 49\\ \sqrt{\Delta} = 7$

$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_{1} = \frac{-(-29) - 7}{22}\\ x_{1} = \frac{29 - 7}{22}\\ x_{1} = \frac{22}{22}\\ x_{1} = 1$

$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_{2} = \frac{-(-29) + 7}{22}\\ x_{2} = \frac{29 + 7}{22}\\ x_{2} = \frac{36}{22}\\ x_{2} = \frac{18}{11}\\ x_{2} = 1\frac{7}{11}$

Zad. 4

$\frac{3}{|x| + x} = 1$

zapisujemy w innej postaci i stosujemy proporcję:

$\frac{3}{|x| + x} = \frac{1}{1}\\ |x| + x = 3\\ |x|= 3 - x$

Stosujemy wzór:

$|x| = a <=> x = a\ \vee\ x = -a$

$x= 3 - x\ \vee\ x=-(3-x)\\ 2x= 3/:2\ \vee\ x=-3+x\\ x= \frac{3}{2}\ \vee\ x-x=-3\\ x= \frac{3}{2}\ \vee\ 0=-3(sprzeczne)$

Mamy jedno rozwiązanie x = 3/2

Zad. 5

$\frac{1}{2|x-3| + 1} = 5$

zapisujemy w innej postaci i stosujemy proporcję:

$\frac{1}{2|x-3| + 1} = \frac{5}{1}\\ 5(2|x-3| + 1) = 1\\ 10|x-3| + 5 = 1\\ 10|x-3| = 1 - 5\\ 10|x-3| = - 4/:10\\ |x-3| = -\frac{4}{10}\\ |x-3| = -\frac{2}{5}$

Stosujemy wzór:

$|x| = a <=> x = a\ \vee\ x = -a$

$x-3 = -\frac{2}{5}\ \vee\ x-3 = -(-\frac{2}{5})\\ x = -\frac{2}{5}+3\ \vee\ x = \frac{2}{5}+3\\ x = 2\frac{3}{5}\ \vee\ x = 3\frac{2}{5}$

Zad. 1n

$\frac{3}{|x-1|} > \frac{1}{3}\\ \frac{3}{|x-1|} -\frac{1}{3} > 0$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$\frac{3*3}{3|x-1|} - \frac{|x-1|}{3|x-1|}>0\\ \frac{9}{3|x-1|} - \frac{|x-1|}{3|x-1|}>0\\ \frac{9-|x-1|}{3|x-1|}>0$

Iloraz jest większy od zera jeżeli iloczyn jest większy od zera, zatem:

$(9-|x-1|)(3|x-1|)>0$

Rozpisujemy moduł (wartość bezwzględną):

$|x - 1| = \left \{ {{x - 1\ dla\ x -1 \geq 0\ =>\ x\ \geq\ 1} \atop {-x + 1\ dla\ x -1 < 0\ =>\ x\ < 1}} \right$

Rozwiązujemy dla x ≥ 1:

$[9-(x-1)][3(x-1)]>0\\ (9-x+1)(3x-3)>0\\ (10-x)(3x-3)>0$

Wyznaczamy miejsca zerowe:

$10 - x = 0\\ x = 10$

$3x - 3 = 0\\ 3x = 3 /:3\\ x= 1$

Funkcja kwadratowa otrzymana po wymnożeniu nawiasów ma postać:

$-3x^2 + 33x - 30>0$

Ponieważ ramiona paraboli funkcji powyżej są skierowane w dół, nasza nierówność ma rozwiązanie w postaci przedziału:

$x \in (1; 10)$ - wykres w załączniku

Całość przedziału spełnia warunek x ≥ 1 więc nasze rozwiązanie to:

$x \in (1; 10)$

Rozwiązujemy dla x < 1:

$[9-(-x+1)][3(-x+1)]>0\\ (9+x-1)(-3x+3)>0\\ (8+x)(-3x+3)>0$

Wyznaczamy miejsca zerowe:

$8 + x = 0\\ x = -8$

$-3x + 3 = 0\\ 3x = 3 /:3\\ x= 1$

Funkcja kwadratowa otrzymana po wymnożeniu nawiasów ma postać:

$-3x^2 -21x + 24>0$

Ponieważ ramiona paraboli funkcji powyżej są skierowane w dół, nasza nierówność ma rozwiązanie w postaci przedziału:

$x \in (-8; 1)$ - wykres w załączniku

Całość przedziału spełnia warunek x < 1 więc nasze rozwiązanie to:

$x \in (-8; 1)$

Przedział spełniający oba warunki to:

$x \in (-8; 1) \cup (1; 10)$

Zad. 2n

$\frac{2x^2}{x^2 + 3}>2\\ \frac{2x^2}{x^2 + 3} - 2>0$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika i upraszczamy:

$\frac{2x^2}{x^2 + 3} - \frac{2(x^2+3)}{x^2+3}>0\\ \frac{2x^2}{x^2 + 3} - \frac{2x^2+6}{x^2+3}>0\\ \frac{2x^2 - 2x^2-6}{x^2 + 3}>0\\ \frac{-6}{x^2 + 3}>0$