Witam potrzebuję kogoś kto mi wytłumaczy równania kwadratowe z parametrem na kilku przykładach-3x²+2.... Question from @Karamy

December 2018 1 17 Report

Witam potrzebuję kogoś kto mi wytłumaczy równania kwadratowe z parametrem na kilku przykładach

-3x²+2x-m=0

x²+(2m+1)x+5=0

x²-(m+2)x+(m+5)=0

proszę o jakiś schemat jak rozwiązywać takie zadania

harjus Zad1.
Dla jakich wartości parametrów m równanie ma dwa różne pierwiastki.
Warunki:
a≠0 - aby było równanie kwadratowe
Δ>0 - aby równanie posiadało dwa różne pierwiastki

$-3x^2+2x-m=0
\\a \neq 0 \Leftrightarrow -3 \neq 0
\\-3 \neq 0
\\\Delta=4-12m
\\\Delta \neq 0 \Leftrightarrow 4-12m >0
\\4-12m>0
\\-12m>-4
\\m<3
\\Odp. \quad m \in(-\infty, 3)$

------------------------------

Zad2.
Dla jakich wartości parametrów m równanie ma dwa różne pierwiastki.
Warunki:
a≠0 - aby było równanie kwadratowe
Δ>0 - aby równanie posiadało dwa różne pierwiastki

$x^2+(2m+1)x+5=0
\\a \neq 0 \Leftrightarrow 1 \neq 0
\\1 \neq 0

\\\Delta=(2m+1)^2-20=4m^2+4m+1-20=4m^2+4m-19
\\\Delta >0 \Leftrightarrow 4m^2+4m-19>0
\\4m^2+4m-19>0
\\\Delta'=16+16*19=16*(1+19)=16*20=320
\\ \sqrt{\Delta'}= \sqrt{320}= \sqrt{64*5}=8 \sqrt{5} 
\\m_1= \frac{-4-8 \sqrt{5} }{8} =- \frac{1+2 \sqrt{5} }{2} 
\\m_2= \frac{-4+8 \sqrt{5} }{8} = \frac{2 \sqrt{5}-1 }{2} 
\\m \in (-\infty,- \frac{1+2 \sqrt{5} }{2} )\cup( \frac{2 \sqrt{5}-1 }{2} ,+\infty)$

Zad3
Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki dodatnie?
Warunki:
a≠0 - aby było równanie kwadratowe
Δ>0 - aby równanie posiadało dwa różne pierwiastki
Aby obydwa pierwiastki były dodatnie, muszą być spełnione obydwa warunki:
x₁*x₂>0
x₁+x₂>0

$x^2-(m+2)x+(m+5)=0
\\a \neq 0 \Leftrightarrow 1 \neq 0
\\1 \neq 0
\\\Delta=(m+2)^2-4(m+5)=m^2+4m+4-4m-20=m^2-16
\\\Delta>0 \Leftrightarrow m^2-16>0
\\m^2-16>0
\\(m-4)(m+4)>0
\\m-4 >0 \; \vee \; m+4<0
\\m>4 \; \vee \; m<-4
\\m \in(- \infty,-4) \cup (4,+\infty)$
$\\x_1= \frac{m+2- \sqrt{m^2-16} }{2}
\\x_2= \frac{m+2+ \sqrt{m^2-16} }{2}
\\x_1*x_2 > 0 \Leftrightarrow \frac{m+2- \sqrt{m^2-16} }{2}*\frac{m+2+ \sqrt{m^2-16} }{2} > 0
\\\frac{m+2- \sqrt{m^2-16} }{2}*\frac{m+2+ \sqrt{m^2-16} }{2} > 0
\\ \frac{(m+2)^2-m^2-16}{4} > 0
\\ \frac{m^2+4m+4-m^2-16}{4} > 0
\\ \frac{4m-12}{4} >0 
\\m-3>0
\\m>3
\\m \in (3,+\infty)
\\x_1+x_2>0 \Leftrightarrow \frac{m+2- \sqrt{m^2-16} }{2}+\frac{m+2+ \sqrt{m^2-16} }{2}>0$
$\frac{m+2- \sqrt{m^2-16} }{2}+\frac{m+2+ \sqrt{m^2-16} }{2}>0
\\ \frac{m+2- \sqrt{m^2-16}+m+2+ \sqrt{m^2-16} }{2} >0
\\ \frac{2m+4}{2}>0
\\m+2>0
\\m>-2
\\m \in (-2,+\infty)$

Częścią wspólną wszystkich zbiorów jest

$m \in (4,+\infty)$

--------------------------------------------------
Prócz tych zadań, mogą jeszcze być takie warunki:
Dwa różne pierwiastki mniejsze od zera (dwa pierwiastki ujemne)
Warunki:
a≠0
Δ>0
x1*x2>0
x1+x2<0
-------------------------------------
Dwa różne pierwiastki, których suma wynosi k
Warunki:
a≠0
Δ>0
x1+x2=k

Podobnych zadań można ułożyć sporo, nie będę wszystkich wymyślał. Warunki układa sie w zależności od wymagań dla parametru m i nie należy się uczyć ich na pamięć, a układać je zgodnie z treścią zadania, tzn. jeżeli mają być dwa różne pierwiastki, to delta musi być większa od zerwa. Jeżeli nie ma warunku, że te pierwiastki muszą być różne, wtedy delta jest większa bądź równa zero (dla delty równej zero mamy pierwiastek podwójny).
Jeżeli obydwa pierwiastki mają być dodatnie, to ich iloczyn musi być większy od zera oraz ich suma musi być większa od zera.
Jeżeli obydwa pierwiastki mają być ujemne, to ich iloczyn musi być większy od zera, a ich suma mniejsza od zera.
Jeżeli jeden z pierwiastków ma być dodatni, drugi ujemny, to ich iloczyn musi być mniejszy od zera.

Możesz się też spotkać z założeniami typu: obydwa pierwiastki zawierają się w przedziale (a,b), wtedy wyliczasz obydwa pierwiastki i układasz równania,:
x1>a ∧x1<b
x2>a ∧x1<b