Question

Witam, bardzo proszę o rozwiązanie poniższych przykładów z Logiki Matematycznej. Zależy mi na tym, żeby wszystko zostało rozpisane tak, żebym to zrozumiał. :) Daję dość dużo punktów, dlatego proszę o rzetelne rozwiązanie tego. Pozdrawiam

1) [(p ⇒ q) ∧ (~q)] ⇒ ~p

2) p ⇒ (p ∨ q)

3) (p ∧ q) ⇒ p

4) ~ (~p ∨ q) ⇔ (~p ∧ q)

5) [ ~ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ⇒ (p ∧ ~q)

Answer 1

1) [(p ⇒ q) ∧ (~q)] ⇒ ~p
załużmy że nie prawda więc

 [(p ⇒ q) ∧ (~q)] =1 to   ~p=0, stąd p=1 

 1⇒q=1 i ~q=1 stąd q=0 ale 1⇒0=1 jest nieprawdą więc doszliśmy do sprzeczności czyli to zdanie jest tautologią

 

2) p ⇒ (p ∨ q)

załużmy że nieprawda czyli p=1 i (p ∨ q)=0 ALE 1 ∨q=1 zawsze czyli znowu sprzeczność czyli jest tautologią

3) (p ∧ q) ⇒ p 

załóżmy ze nie prawda czyli (p ∧ q)=1(jest to spełnione dla p=1 i q=1), to p=0
widzimy że sprzeczne więc jest tautologią 

4) ~ (~p ∨ q) ⇔ (~p ∧ q)
p∧~q⇔~p∧q
jeżeli p=0 q=0
prawda
jeżeli p=0 q=1
0⇔1 czyli zdanie fałszywe nie jest tautologią 

5) [ ~ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ⇒ (p ∧ ~q)
załóżmy że jest fałszywe więc  [ ~ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]=1 a  (p ∧ ~q)=0 z drugiej koningcji odczytujemy ze p=0 q=1 wstawiamy do pierwszej która ma być równa 1 aby równość była prawdziwa
~(0⇒1)∧(1⇒0)=0 więc sprzeczność czyli jest tautologią