Question

Witam !!! Bardzo proszę o pomoc !

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 stopni. Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa objętości tego ostrosłupa.

Proszę również o rysunek

Answer 1

Dane:    k = 4 cm,    α = 30°,      V = V₁  ,                 a₁ = ?               V = ⅓ a²h,      V₁ = a₁³

 

  a√2                                a√2                                      a√2

-------                                --------                                  ------

   2                                       2                                         2             √3

------------ = cosα    ,      ------------ = cos 30°,         ------------ = ------

    k                                      4                                         4               2

 

    a√2

 ---------  · 2 = 4√3      ,         a√2= 4√3     /:√2

      2                                       4√3         4√3·√2            4√6

                                        a = --------- = ---------------- = ----------- = 2√6 [cm]

                                                  √2           √2 · √2            2

 

    h                            h                                   h

------- = sin α    ,      ------ = sin 30°   ,         ------- = ½     ,      2h = 4,          h = 2 [cm]

    k                            4                                   4

 

V = ⅓ · (2√6)² · 2 = ⅔ · 4·6 = 16 [cm³]

 

V = V₁     ⇔      a₁³ = 16    /∛

                       a₁ = ∛16 = ∛(8·2) = 2∛2 [cm]

 

Odp. Krawędź sześcianu ma długość  2∛2 cm .