Question

Wielomiany:

1.
(1-25x^2)(x^3+3x^2+3x+1)>0
2.
(x+3)(x+1)(x-2)(x-4)<lub równe od zera

Proszę o pomoc.

Answer 1

Zad. 1

 

(1-25x^2)(x^3+3x^2+3x+1)>0

 

Rozkładamy nawiasy korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

 

a² - b² = (a - b)(a + b) oraz (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

 

W naszym przypadku:

 

1² - 25x² = (1 - 5x)(1 + 5x)

 

x³ + 3x² * 1 + 3x* 1² + 1³ = (x + 1)³

 

Nasza nierówność ma więc postać:

 

(1 - 5x)(1+5x)(x+1)³ > 0

 

Wyznaczamy miejsca zerowa dla każdego z nawiasów:

 

1 - 5x = 0 => -5x = -1/:(-5) => x = 1/5

 

1 + 5x = 0 => 5x = -1/:5 => x = -1/5

 

x + 1 = 0 => x = -1

 

Interesuje nas tylko ten obszar układu równań gdzie iloczyn wszystkich funkcji jest większy od zera (wykresy w załączniku), wykonujemy "mnożenie znaków".

 

Z lewej strony osi Y otrzymamy: "minus" * "minus" * "plus" = "plus" * "plus" = "plus", tzn. wartości większe od zera.

 

Z prawej strony osi Y otrzymamy "minus" * "plus" * "plus" = "minus" * "plus" = "minus", tzn. wartości mniejsze od zera.

 

Na sinteresują większe od zera więc rozwiązaniem naszej nierówności są x należące do przedziału (-∞; 0)

 

Zad. 2

 

(x+3)(x+1)(x-2)(x-4) ≤ 0

 

Wyznaczamy miejsca zerowa dla każdego z nawiasów:

 

x + 3 = 0 => x = -3

 

x + 1 = 0 => x = -1

 

x - 2 = 0 => x = 2

 

x - 4 = 0 => x = 4

  Rysujemy wykresy tych funkcji (w załączniku) i obliczamy jak poprzednio znaki.

 

Tym razem mamy jednak kilka przedziałów do obliczenia.

 

W pierwszym z lewej (od -∞ do -3) np. mamy:   "minus" * "minus" * "minus" * "minus" = "plus" * "plus" = "plus", wartości dodatnie.

 

W następnym (od -3 do -1):   "minus" * "minus" * "minus" * "plus" = "plus" * "minus" * "plus" = "minus",

 

w trzecim od lewej (od -1 do 2):   "minus" * "minus" *  "plus" * "plus" = "plus" * "plus" = "plus",

 

w czwartym (od 2 do 4):   "minus" *  "plus" * "plus" * "plus" = "minus" * "plus" = "minus",

 

i w ostatnim (od 4 do ∞):   "plus" * "plus" * "plus" * "plus" = "plus".

 

Nas interesują tylko mniejsze lub równe zero, więc rozwiązaniem jest przedział <-3; -1> u <2; 4>