Question

Wiedząc, że pierwiastkami wielomianu w(x)= x^3 + ax^2 + b są liczby 2 i -3 wyznacz liczby a i b oraz trzeci pierwiastek

Answer 1

Wiedząc, że pierwiastkami wielomianu w(x)= x^3 + ax^2 + b są liczby 2 i -3 wyznacz liczby a i b oraz trzeci pierwiastek

W(x) = x³ + ax² + b
Jezeli pierwiaskami wielomianu sa liczby 2 i -3, to wielomian W(2) = 0 i W(-3) = 0
W(2) = 2³ + a*2² + b = 0
W(-3) = (-3)³ + a*(-3)² + b = 0

W(2) = 8 + 4a + b = 0
W(-3) = -27 + 9a + b = 0

8 + 4a + b = 0
-27 + 9a + b = 0

4a + b = -8
9a + b = 27

b = -8 -4a
9a + (-8 -4a) = 27

b = -8 - 4a
9a -8 - 4a = 27

b = - 8 - 4a
5a = 27 +8

b = -8 - 4a
5a = 35 /:5

b = -8 - 4a
a = 35 : 5

b = -8 -4a
a = 7

b = -8 -4*7 = -8 - 28 = -36
a = 7

a = 7
b = -36

Wielomian ma postać
W(x) = x³ + ax² + b

W(x) = x³ + 7x² - 36

aby obliczyć trzeci pierwiastek należy wielomian W(x) podzielić ( x -2) lub (x + 3) tzn.przez jednomian zawierajacy jeden ze znanych piwerwiastków , aby otrzymać równanie kwadratowe , z którego mozna obliczyć 2 pierwiastki równania

(x³ + 7x² - 36 ): ( x -2) = x² + 9x + 18
-x³ + 2x²
------------
= 9x² - 36
-9x² + 18x
---------------
= 18x -36
-18x + 36
--------------
= =
W(x) mozna zapisać w postaci iloczynowej

W(x) = (x³ + 7x² - 36 )= ( x -2) (x² + 9x + 18)

z drugiego równania (x² + 9x + 18) obliczam 2 pierwiastki
x² + 9x + 18 = 0
Δ = 9² -4*1*18= 81 - 78 = 9
√Δ = √9 = 3

x1 = (-9 -3) : 2*1 = (-12) : 2 = -6
x2 = (-9 + 3) : 2*1 = (-6) : 2 = -3

Równanie ma 3 pierwiastki
x = 2
x = -3
już znanymi pierwiastkami ( wymienionymi w tresci zadania ) , to trzecim pierwiastkiem jest x = - 6