Question

Wiadomo,że suma wszystkich krawędzi prostopadłościanu o podstawie kwadratu jest równa 32.Oblicz,ile co najwyżej może wynosić pole powierzchni bocznej tego prostopadłościanu.

Answer 1

Oznaczamy długości krawędzi przez x oraz y.Mamy
8x +4y = 32, stąd 2x +y =8 , stąd y =-2x +8
P - pole powierzchni całkowitej prostopadłoscianu
Mamy P =2x^2 +4xy = 2x^2 +4x(-2x +8)= 2x^2 -8x^2 +32x =
= -6x^2 +32x
Mamy równanie kwadratowe. obliczamy deltę
delta = 32^2 , pierwiastek z delty = 32
mamy x1 = (-32 +32)/(-12) =0
x2 = (-32 - 32 )/(-12) =-64/(-12) =16/3

funkcja P = -6x^2 +32x osiąga maksimum dla x = (16/3):2 =8/3
Obliczamy Pmax dla x =8/3
Pmax = -6*(8/3)^2 + 32 *(8/3) =-6*(64/9) + 256/3=
= - 384/9 + 768/9 = 384/9 =128/3 =42 i 2/3
Odp.pole powierzchni tego prostopadlościanu nie może być
wieksze od 42 i 2/3 cm^2

Np. dla x =2 cm i y = 4 cm pole P = 40 cm^2

Answer 2

8a +4b = 32
4ab = ?

8a +4b = 32 | /4
2a + b = 8
a = 4 -½b

4ab= 4(4-½b)*b = (16 - 2b)b = -2b² + 16b
f(b) = -2b² + 16b ← funkcja opisujaca pole boczne w zależności od b.
f ma wartość maksymalną w wierzchołku funkcji (patrz załącznik!)

p = -b/2a ( wzór na wierzchołek funkcji kwadratowej)
p = -16/-4 = 4

f(4) = -2*4² + 16*4 = -32 + 64 = 32

Odpowiedź: Pole boczne tej bryły może mieć maksymalnie 32 [jednostek kwadratowych] powierzchni.