Question

Wartośći bezwzględne:

1. Oblicz równanie:

|3x - 6| = 7 + |x - 2|

|6 - x| + |½x - 3|=3

2. Oblicz nierówność:

|x + 1| ≤ 6 - 2|x + 1|

2|x - 4| + |3x - 12| ≤ |3x + 6| - |2 + x| + 2

Answer 1

1)  a)   I3x-6I = 7 + Ix -2I

           3 Ix -2I = 7 + I x-2I

        2Ix -2I = 7      /:2

          Ix -2I = 3½

        x -2 =  3½           ∨        x -2 = -3½

         x = 5½                             x = -1½

 

b)   I6 -xI + I ½x -3I = 3

       Ix -6I + ½ Ix -6I = 3

        1½ Ix - 6I = 3        /: 1½

        Ix -6I = 3 · ⅔

         Ix -6I = 2

          x -6 = 2            ∨       x -6 = -2

           x = 8                           x = 4

 

2)   a)    Ix +1I ≤ 6 -2Ix +1I

             Ix+1I + 2Ix+1I ≤ 6

            3Ix +1I ≤ 6          /:3

               Ix +1I ≤ 2

          -2 ≤ x +1 ≤ 2

          -3 ≤ x ≤ 1                Odp.   x ∈ < -3, 1 >

 

     b)     2Ix -4I + I3x -12I   ≤ I3x + 6I - I2 +xI + 2

             2 Ix -4I + 3I x -4I   ≤ 3I x + 2I - I x +2I + 2

             5I x - 4I  ≤ 2 I x + 2I + 2

        Wyznaczamy miejsca zerowe z wartosci bezwzglednych, ktore umieszczone na osi liczbowej podziela ja na 3 przedzialy.

          x-4 = 0      ⇒    x = 4

          x  + 2 = 0   ⇒   x = -2     W kazdym z przedzialow rozwiazujemy powstala nierownosc.

    1°.   x ∈ (-∞ , -2)

         5( -x + 4) ≤ 2( -x -2) + 2

         -5x + 20 ≤ -2x -4 +2

          -3x ≤ -22     /: (-3)

            x ≥ ²²/₃

             x ≥ 7⅓

           < 7⅓, ∞) n ( -∞, -2) = Ф          (zbior pusty)

           Czyli w przedziale tym nie ma rozwiazania.

    2°.  x ∈ < -2, 4)

           5 (-x + 4) ≤ 2(x + 2) + 2

            -5x + 20 ≤ 2x + 4 + 2

              -7x ≤ -14        /:(-7)

                  x ≥ 2

           <2, ∞) n <-2, 4) = < 2, 4 )

     3°.  x ∈ < 4, ∞)

            5(x -4) ≤ 2(x +2) + 2

            5x -20 ≤ 2x + 4 + 2

             3x ≤ 26      /:3

             x ≤ 8⅔

            (-∞ , 8⅔ >  n < 4, ∞) = < 4, 8⅔ >

    Ostatecznym rozwiazaniem nierownosci jest suma otrzymanych przedzialow :

     < 2, 4 ) U < 4, 8⅔ > = < 2, 8⅔ >