Question

WALEC

Zad.1

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem o polu 10 cm². Oblicz objętość tego walca.

Zad.2

Przekrój osiowy walca jest prostokątem, którego krótszy bok ma długość 4 cm, a przekątne tego przekroju przecinają się pod kątem 60°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Zad.3

Wysokość walca jest dwa razy dłuższa od średnicy jego podstawy. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca, jeżeli jego objętość wynosi 32π.

Zad.4

Pole powierzchni bocznej walca wynosi 30π cm², a obwód jego przekroju osiowego jest równy 22 cm. Oblicz objętość tego walca.

STOŻEK

Zad.1

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, którego pole wynosi 15√3 cm². Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Zad.2

Wysokość stożka jest dziewięciokrotnie mniejsza od jego promienia. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka, jeżeli jego objętość wynosi 125π cm³.

Answer 1

1

objętość walca

V=Pp*h=Pi r^2*h

Pb=a^2

10=a^2

a=V10cm

a=2r=h

V=Pi (1/2V10)^2*V10

V=5/2V10Picm3

2

Jeżeli przekątne przecinają się pod kątem 60st, tzn że 1/2przekątnej jest równa krótszemu bokowi,czyli cała przekątna =2*4=8cm

z pitagorasa obliczmy 2 bok

4^2+a^2=8^2

a^2=48

a=4V3cm

a=2Pir (obw podstawy)

4V3=2Pi r

r=2V3/Picm

pole podstawy

Pp=Pi r^2=Pi (2V3/Pi)^2

Pp=12/Pi cm2

P=2*Pp+Pb=2*12/Pi+4*2V3/Pi

P=8/Pi(3+V3) cm2

3

objętość walca

V=Pp*h

30 Pi=Pi r^2 *h

h=2śr; śr=2r; h=4r

30 Pi=Pi r^2*4r

15/2=r^3

r='3'V(15/2)cm - pierwiastek 3 stopnia z 15/2

h=4*'3'V(15/2)cm

P=2*Pp+Pb=2*Pi r^2 + 2 Pi r*h=2*Pi ['3'V(15/2)]^2+2*Pi*'3'V(15/2)*4*'3'V(15/2)

P=10*'3'V(15/2)Pi cm2

4

Pb=30Picm2

obw=2a+2b

22=2a+2b

11=a+b

a=h

b=2r; r=1/2b

 

2Pir*h=30Pi

h+2r=11

 

r*h=15

h=11-2r

 

r(11-2r)=15                     11r-2r^2-15=0

                                        -2r^2+11r-15=0

                                       delta=121-4*(-2)*(-15)=1

                                        r1=(-11-1)/-4=3

                                        r2=2,5

r1=3

h1=5

 

r2=2,5

h2=6

 

V1=Pi 3^2*5=45Picm3

V2=Pi (2,5)^2*6=37,5 Pi cm3

 

Możliwe są dwie odpowiedzi

 

1

Pole trójkąta

P=a^2V3/4

15V3=a^2V3/4

a^2=60

a=2V15cm

a=2r;  r=1/2a=V15cm

a=l (tworząca

 

wysokość trójkąta = h bryły

h=aV3/2=2V15*V3/2

h=3V5cm

 

objętość

V=1/3Pp*h=1/3*Pi r^2*h=1/3*pi*(V15)^2*3V5

V=15V5 Pi cm3

 

pole

P=Pp+Pb=Pi r^2+Pi r l=1/3*pi*(V15)^2+Pi V15*3V5

P=Pi(5+15V3)cm2

 

2

r=9h

V=Pi r^2*h

125Pi=Pi 81h^2*h

h^3=125/81

h='3'V(125/81)  - pierwiastek 3 stopnia

 

r=9*'3'V(125/81)

 

obliczam tworzącą l z pitagorasa

h^2+r^2=l^2

('3'V(125/81))^2+81('3'V(125/81))^2=l^2

l=V82*'3'V(125/81)

 

P=Pp+Pb=Pi r^2+Pi r l =Pi 81('3'V(125/81))^2+Pi 9*('3'V(125/81))*V82*'3'V(125/81)

P=('3'V(125/81))^2*(81Pi+9V82 Pi) cm2