W trójkąt równoramienny ABC o podstawie |AB|=a wpisano drugi trójkąt równoramienny DEF, którego dwa .... Question from @KrzysiekEU

December 2018 1 7 Report

W trójkąt równoramienny ABC o podstawie |AB|=a wpisano drugi trójkąt równoramienny DEF, którego dwa wierzchołki podstawy leżą na ramionach danego trójkąta, a trzeci wierzchołek leży w środku jego podstawy. Dla jakiej długości podstawy trójkąta wpisanego stosunek objętości stożka, którego przekrojem osiowym jest ten trójkąt, do tego stożka o przekroju ABC jest największy?

irenas Narysuj trójkąt równoramienny ABC, o długości podstawy
$|AB|=a$

Poprowadź odcinek DE równoległy do AB tak, że D leży na AC i E leży na BC.

Poprowadź wysokość CF trójkąta ABC na podstawę AB.
|CF|=H

G- punkt przecięcia odcinków DE i CF.
|KF|=h
|CG|=H-h

Trójkąt DEC jest podobny do ABC.
|DE|=x

$\frac{|CG|}{|GE|}=\frac{|CF|}{|FB|}\\\frac{H-h}{\frac{x}{2}}=\frac{H}{\frac{a}{2}}\\\frac{H-h}{x}=\frac{H}{a}\\Hx=Ha-ha\\ha=Ha-Hx\\ha=H(a-x)\\h=\frac{H(a-x)}{a}$

V- objętość stożka o przekroju ABC
$V=\frac{1}{3}\pi\cdot(\frac{a}{2})^2H=\frac{\pi}{12}a^2H$

v- objętość stożka o przekroju DEF:
$v=\frac{1}{3}\pi\cdot(\frac{x}{2})^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{x^2}{4}\cdot\frac{H(a-x)}{a}=\frac{\pi}{12}\cdot\frac{Hx^2(a-x}{a}$

$\frac{v}{V}=\frac{\frac{x^2H(a-x}{a}}{a^2H}=\frac{Hx^2(a-x)}{a^3H}=\frac{x^2(a-x)}{a^3}$

$f(x)=\frac{ax^2-x^3}{a^3}\\0<x<a\\f(x)=-\frac{1}{a^3}x^3-\frac{1}{a^2}x^2\\f'(x)=-\frac{3}{a^3}x^2+\frac{2}{a^2}x\\f'(x)=0\\-\frac{x}{a^2}(\frac{3}{a}x-2)=0\\x>0\\\frac{3}{a}x-2=0\\\frac{3}{a}x=2\\3x=2a\\x=\frac{2}{3}a$

Dla $x\in(0;\ \frac{2}{3}a)$ jest $f'(x)>0$

Dla $x\in(\frac{2}{3}a;\ a)$ jest $f'(x)<0$

Czyli
$f_{max}=f(\frac{2}{3}a)$

Stosunek objętości opisanych stożków jest największy dla $|DE|=\frac{2}{3}a$

6 votes Thanks 9