Dwa wierzchołki A i B kwadratu ABCD nalężą do prostej x-2y=0, a wierzchołek C należy do hiperboli o .... Question from @KrzysiekEU

December 2018 1 7 Report

Dwa wierzchołki A i B kwadratu ABCD nalężą do prostej x-2y=0, a wierzchołek C należy do hiperboli o równaniu y=- $\frac{8}{x}$ . Oblicz długość przekątnej kwadratu, którego pole jest najmniejsze.

MrPolygon Skoro wierzchołek C leży na hiperboli o równaniu $y=\frac{-8}{x}$ , to ma współrzędne $C(x_C,\frac{-8}{x_C})$ . Odległość tego punktu od podanej prostej (nazwijmy ją k) jest długością boku poszukiwanego kwadratu. Możemy ją obliczyć ze wzoru:

$d(C,k)=\dfrac{|1\cdot{}x_C+(-2)\cdot{}y_C+0|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\dfrac{|x_C+(-2)\cdot{}\frac{-8}{x_C}|}{\sqrt{1+4}}=\dfrac{|x_C+\frac{16}{x_C}|}{\sqrt{5}}$

Pole kwadratu jest więc równe:

$P=\left(\dfrac{|x_C+\frac{16}{x_C}|}{\sqrt{5}}\right)^2=\dfrac{|x_C+\frac{16}{x_C}|^2}{(\sqrt{5})^2}=\dfrac{(x_C+\frac{16}{x_C})^2}{5}=\dfrac{x_C^2+32+\frac{256}{x_C^2}}{5}$

Pole ma być minimalne, weźmy więc funkcję pola zmiennej x:

$f(x)=\dfrac{x^2+32+\frac{256}{x^2}}{5}$

i poszukajmy jej minimum poprzez policzenie pochodnej:

$f'(x)=\dfrac{1}{5}\cdot\left(x^2+32+\dfrac{256}{x^2}\right)'=\dfrac{1}{5}\cdot\left(2x+256\cdot(-2)\cdot\dfrac{1}{x^3}\right)=\\\\{}\\=\dfrac{1}{5}\cdot\left(2x-\dfrac{512}{x^3}\right)\\\\{}\\f'(x)=0\\\\{}\\\dfrac{1}{5}\cdot\left(2x-\dfrac{512}{x^3}\right)=0\\\\{}\\2x-\dfrac{512}{x^3}=0\\\\{}\\2x=\dfrac{512}{x^3}\\\\{}\\x=\dfrac{256}{x^3}\\\\x^4=256\\\\x_1=4,\qquad{}x_2=-4$

Wyszły nam dwie możliwości, gdyż punkt C może leżeć na każdej z dwóch gałęzi hiperboli. Żeby się upewnić, że to faktycznie są minima, policzmy drugą pochodną:

$f''(x)=\dfrac{1}{5}\cdot\left(2x-\dfrac{512}{x^3}\right)'=\dfrac{1}{5}\cdot\left(2+\dfrac{1536}{x^4}\right)\\\\{}\\f''(4)=f''(-4)>0$

Bok kwadratu będzie miał długość dla $x_C=4\quad\vee\quad{}x_C=-4$ równą:
$\dfrac{|x_C+\frac{16}{x_C}|}{\sqrt{5}}=\dfrac{|4+\frac{16}{4}|}{\sqrt{5}}=\dfrac{8}{\sqrt{5}}=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}$ ,

zaś przekątna:
$d=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\cdot\sqrt{2}=\dfrac{8\sqrt{10}}{5}$

7 votes Thanks 10

Angielski, na już, daje naj

Answer

KrzysiekEU December 2018 | 0 Replies

Angielski na jutro, tylko szybko

Answer

KrzysiekEU December 2018 | 0 Replies

W trójkąt równoramienny ABC o podstawie |AB|=a wpisano drugi trójkąt równoramienny DEF, którego dwa wierzchołki podstawy leżą na ramionach danego trójkąta, a trzeci wierzchołek leży w środku jego podstawy. Dla jakiej długości podstawy trójkąta wpisanego stosunek objętości stożka, którego przekrojem osiowym jest ten trójkąt, do tego stożka o przekroju ABC jest największy?

Answer

Angielski, na już, daje naj

Angielski na jutro, tylko szybko

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social