Question

W trójkącie równoramiennym ABC, wktórym IABI = IBCI poprowadzono wysokość AD. Udowodnij że IACI² = 2·ICDI·IBCI.

Answer 1

ΔABC - trójkąt równoramienny

|AB| = |BC|

AD - wysokośc poprowadzona na bok BC, stąd |BC| = |CD| + |BD|

 

Wysokość AD dzieli ΔABC na dwa trójkąty prostokątne: ΔADC i ΔADB. Zatem korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

|AC|² = |CD|² + |AD|² 

oraz

|AB|² = |AD|² + |BD|²

Z założenia |AB| = |BC|, stąd:

|BC|² = |AD|² + |BD|²

|AD|² = |BC|² - |BD|²

Podstawiamy do pierwszego wzoru [|AC|² = |CD|² + |AD|²] i otrzymujemy:

|AC|² = |CD|² + |BC|² - |BD|²

Wiemy, że |BC| = |CD| + |BD|, zatem:

|AC|² = |CD|² + (|CD| + |BD|)² - |BD|²

|AC|² = |CD|² + |CD|² + 2 ·|CD|·|BD| + |BD|² - |BD|²

|AC|² = 2 · |CD|² + 2·|CD|·|BD|

|AC|² = 2 · |CD| · (|CD| + |BD|)

|AC|² = 2 · |CD| · |BC|