W trójkącie prostokątnym długość przyprostokątnej wynosi 8, a jeden z kątów ma miarę 30stopni. Wuzna.... Question from @sskarbekk

September 2018 1 21 Report

W trójkącie prostokątnym długość przyprostokątnej wynosi 8, a jeden z kątów ma miarę 30stopni. Wuznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Odpowiedz: 2 pierw. z 3 - 2

Trójkąt równoramienny o podstawie długości 4cm i ramieniu długości 6 wpisano okrąg.Oblicz promień tego okręgu oraz odległości środka okręgu od wierzchołków trójkąta

Odpowiedz: r = pierw z 2

OA, OB - pier z 6

OC - 3 pierw z 2

bardzo pilne.. najlepiej gdyby bylo z rysunkami.

Grzesinek

W treści zadania jest błąd. Powinno być tak:

W trójkącie prostokątnym długość przeciwprostokątnej wynosi 8, a jeden z kątów ma miarę 30 stopni. Wyznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Gdyby dana była przyprostokątna, to byłyby 2 rozwiązania, w zależności od tego, czy krótsza czy dłuższa z nich miałaby długość 8. A przeciwprostokątna jest jedna, stąd tylko 1 rozwiązanie.

Jak wiadomo środek okręgu wpisanego w trójkąt wyznacza się z przecięcia dwusiecznych kątów. Po narysowaniu promieni okręgu w punktach styczności z trójkątem otrzymamy 3 pary trójkątów przystających i do tego prostokątnych, ponieważ promienie te są prostopadłe do boków trójkąta, a odległości punktów styczności z pobliskim wierzchołkiem trójkąta są jednakowe z uwagi na fakt równości kątów danej pary trójkątów (patrz rysunek).

ODCE jest kwadratem o boku R, natomiast AD jest wysokością trójkąta równobocznego o boku 2R (można go także wyliczyć jako R ctg 30°=R√3).

Zatem AC = AD + DC = R√3 + R = R(√3+1)

Ale także:

AC/AB = sin 30°

skąd:

AC = AB sin30° = 8*0,5 = 4

Porównujemy z poprzednim wyliczeniem:

R(√3+1) = 4

R = 4/(√3+1) = 4(√3-1) / [(√3+1)(√3-1)] = 4(√3-1) / (3 -1) = 2(√3-1) = 2√3 - 2

R = 2√3 - 2

Tu też zadanie jest nieścisłe, bo nie jest wyraźnie napisane, czy mowa o okręgu opisanym, czy wpisanym w trójkąt (nie wiadomo w którym miejscu brak ważnego przyimka w - na początku zdania czy dalej)- jedynie dalsza część trochę rozjaśnia, bo pytanie o odległość środka od wierzchołków ma sens tylko dla okręgu wpisanego, inaczej odległości byłyby jednakowe i równe promieniowi okręgu opisanego.

Z właściwości okręgu wpisanego w trójkąt (patrz poprzednie zadanie) mamy:

AD = AF = FB = EB = 4/2 = 2

DC = EC = 6 - 2 = 4

Wysokość danego trójkąta FC z Pitagorasa wynosi:

FC = √(6²-2²) = √32

OC = √(DC² + R²) = √(16 + R²)

Ale także:

FC = R + OC

√32 = R + √(16 + R²)

√32 - R = √(16 + R²)

Po podniesieniu do kwadratu:

R² - 2R√32 + 32 = 16 + R²