Question

W trójkącie ABC odcinek BM jest środkową trójkąta. Punkt K leży na odcinku MC, a punkt L na odcinku AB tak, że KL dzieli trójkąt na dwie figury o równych polach. Wykaż, że odcinki ML i KB są równoległe.

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]ML\parallel KB[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

1. Wyznaczam pole MBC

[tex]P_{ABM}=\frac{a(c+d)sin\alpha}{2}\\\\P_{MBC}=\frac{a(c+d)sin\alpha}{2}[/tex]

2. Wyznaczam pole LBCK

[tex]P_{ALK}=\frac{(a+b)c sin\alpha}{2}\\\\P_{LBCK}=\frac{(a+b)c sin\alpha}{2}[/tex]

3.

[tex]P_{LBCK}=P_{ABC}-P_{ALK}\\\\\frac{(a+b)c sin\alpha}{2}=\frac{2a(c+d) sin\alpha}{2}-\frac{(a+b)c sin\alpha}{2}\\\\\frac{(a+b)c sin\alpha}{2}+\frac{(a+b)c sin\alpha}{2}=\frac{2a(c+d) sin\alpha}{2}\\\\\frac{2(a+b)c sin\alpha}{2}=\frac{2a(c+d) sin\alpha}{2}\\\\(a+b)c sin\alpha=a(c+d) sin\alpha\ \ \ |:sin\alpha\\\\(a+b)c=a(c+d)\\\\ac+bc=ac+ad\\\\ac+cb-ac=ad\\\\cb=ad\ \ \ |:c\\\\b=\frac{ad}{c}\ \ \ |:d\\\\\frac{b}{d}=\frac{a}{c}[/tex]

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa:

Jeżeli odcinki wyznaczone przez dwie proste na jednym z ramion kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta, to te proste są równoległe.

[tex]ML\parallel KB[/tex]